A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 10-én LEJÁRT.

K. 43. Két diák beszélget iskola után:

-- Mennyi a szeptemberben kapott jegyeid átlaga informatikából?

-- Pontosan 4,6.

-- Az nem lehet, hisz még csak most kezdődött el a tanév. Nem lehet még ennyi jegyed!

Mire gondolhatott a kétkedő diák?

Mikusi Imre ötlete nyomán

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 44. Mekkorák a derékszögű háromszög hegyesszögei, ha az ábrán látható módon három egyenlő szárú háromszögre tudjuk felbontani?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 45. Hányféleképpen tehetünk fel a sakktáblára egy királyt és egy bástyát, hogy egyik se üsse a másikat? (A sakktábla mezői a szokásos módon betűkkel és számokkal vannak jelölve; két helyzet különbözőnek számít, ha legalább az egyik bábu másik mezőn áll a két helyzetben.)

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 46. Aurumban a megmunkált aranytárgyak értéke tömegük négyzetével arányos. Tolvajok ellopnak egy 100 peták értékű aranytárgyat, és ebből egyforma tömegű medálokat készítenek, melyek értéke összesen 10 peták. A medálokat egy ékszerész megvásárolja, majd belőlük (nem feltétlenül egyforma tömegű) karkötőket készít oly módon, hogy egy-egy karkötőhöz egész számú medált használ fel. A karkötők összértéke 46 peták. Mennyit érnek az egyes karkötők?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 47. Egy szigeten kétféle ember él: jók és rosszak. A jók mindig igazat mondanak, a rosszak mindig hazudnak. Természetesen mindenki vagy fiú vagy lány a szigeten. Egyszer két fiatal ember a következőket mondta:

A: Ha én jó vagyok, B rossz.

B: Ha én fiú vagyok, A lány.

Állapítsuk meg mindkettőről, hogy jó-e és hogy milyen nemű!

Javasolta: Szalkai Balázs, Veszprém

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 48. Bélának háromféle körsablonja van: ezek rendre 6, 15 és 83 cm² területű körök rajzolására alkalmasak. Béla szeretne néhány kört rajzolni, melyek területe összesen 220 cm². Melyik körből hányat rajzoljon?

Szilágyi Dániel, Budapest

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

C. 815. Az a és b valós számokról tudjuk, hogy a szorzatuk 1, továbbá

${a+b+2\over4}={1\over a+1}+{1\over b+1}.$

Határozzuk meg a és b értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 816. Történt egyszer, hogy Margit néni kedvenc csokoládéjának árát 30%-kal felemelték, ugyanakkor a nyugdíja is emelkedett 15%-kal. Hány százalékkal csökken Margit néni csokoládéfogyasztása, ha csak 15%-kal tud többet költeni csokoládéra?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 817. Miután Klári kiszámolta, hogy 6²+8=44, észrevette, hogy 66²+88=4444. Igaz-e minden n-re, hogy

$(\underbrace{6\dots6}_{n~{\rm jegy}})^2+ \underbrace{8\dots8}_{n~{\rm jegy}}=\underbrace{4\dots4}_{2n~{\rm jegy}}?$

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 818. Egy kör alakú asztalra rátettünk egy négyzet alakú terítőt úgy, hogy a középpontjaik egybeestek. A kör és a négyzet kerülete egyenlő. Az asztallap területének hány százalékát takarja a terítő?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 819. Az ABCDEF szabályos hatszög K középpontjában, továbbá a B csúcsában egy-egy légy, az A csúcsban pedig egy pók ül. A B csúcsból a C irányába, a K-ból pedig az E irányába egyszerre, azonos sebességgel elindulnak a legyek. (A pók helyben marad.) Mutassuk meg, hogy a mozgás során mindig egy szabályos háromszög csúcsaiban vannak.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

B. 3832. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának tetszőleges pontja P, C-ből induló magasságának talppontja C₁. P vetülete az AC befogón A₁, a BC-n B₁.

a) Bizonyítsuk be, hogy a P, A₁, C, B₁, C₁ pontok egy körön vannak.

b) Bizonyítsuk be, hogy az A₁B₁C₁ és az ABC háromszögek hasonlók.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3833. Adottak az A, B, C és D pontok a síkban. Szerkesszünk olyan A-n és B-n átmenő kört, amelyhez C-ből és D-ből egyenlő hosszú érintők húzhatók.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3834. Mi az n egész szám legnagyobb értéke, ha négy megfelelő segédsúly és egy kétkarú mérleg segítségével minden olyan test tömege meghatározható, amelyről tudjuk, hogy kilogrammban vett mérőszáma 1-től az n-ig terjedő egész szám? (A kétkarú mérleggel tetszőlegesen sok mérést végezhetünk, de csak a segédsúlyokat és a mérendő tárgyat rakhatjuk serpenyőibe, és sem a segédsúlyokat, sem pedig a mérendő tárgyakat nem darabolhatjuk fel.)

A klasszikus feladatot módosította: Törcsvári Attila

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3835. Idén tavasszal a női kézilabda EHF kupában három magyar csapat is bejutott a legjobb nyolc közé. A nyolc csapatot sorsolással összepárosították. A sorsoláson mindhárom magyar csapat külföldi ellenfelet kapott. Mennyi volt ennek az esélye?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3836. Ábrázoljuk a síkon a p, q számpároknak azokat az értékeit, amelyekre az x²-2px+q=0 egyenletnek

a) kettő gyöke van;

b) gyöke a kettő;

c) a kettő az egyetlen gyöke.

Javasolta: Hraskó András

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3837. Jelölje P, illetve Q az ABC háromszög AB oldalára kifelé rajzolt ABDE négyzet és a BC oldalára kifelé rajzolt BCGH négyzet középpontját. Az AC és a DH szakaszok felezőpontja R, illetve S. Mutassuk meg, hogy a P, Q, R és S pontok egy négyzet csúcsai.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3838. Az A pozitív egész kettes számrendszerbeli alakja n darab 1-esből áll. Bizonyítsuk be, hogy nA kettes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege n.

Javasolta: Lorántfy László, Dabas

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3839. Az ABC háromszög A-ból induló szögfelezője D-ben metszi a BC oldalt. A B és a C ponton keresztül olyan b, illetve c egyenest rajzolunk, amelyek egymással párhuzamosak, és egyenlő távolságra vannak A-tól. Legyen M a b, N pedig a c egyenesnek az a pontja, amelyre AB a DM szakaszt, AC pedig a DN szakaszt felezi. Bizonyítsuk be, hogy DM=DN.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3840. Ismeretes, hogy egy tetraéder lapsíkjai 15 részre osztják a teret. E részek közül legfeljebb hányba metszhet bele egy egyenes?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3841. Határozzuk meg, hogy ha a Szalonpóker cikkben leírt módon 52 lapot keverünk össze, akkor hányadik keverés után kapjuk vissza az eredeti sorrendet. Oldjuk meg ezt a feladatot abban az esetben is, ha a jobboldali pakli alsó lapjával kezdjük a keverést, vagyis ha az eredetileg 26-odik helyen álló kártya kerül a legalsó helyre.

Javasolta: Hraskó András és Jelitai Árpád, Budapest

(4 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

A. 377. Az ABC háromszög beírt köre az AB oldalt a C₁, a BC oldalt az A₁, a CA oldalt pedig a B₁ pontban érinti. Mint ismeretes, AA₁, BB₁ és CC₁ szakaszok egy ponton mennek át; jelöljük ezt a pontot N-nel. Rajzoljuk meg azt a három kört, amely átmegy N-en és érinti valamelyik két oldalt. Igazoljuk, hogy a hat érintési pont egy körön van.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 378. Létezik-e olyan $f:\mathbb{Q}\to\{-1,1\}$ függvény, amelyre f(x)=-f(y), valahányszor x és y különböző racionális számok, és xy=1 vagy x+y $\in$ {0,1}?

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 379. Határozzuk meg az összes olyan $\lambda$ valós számot, amelyhez létezik olyan 0-tól különböző P polinom, hogy tetszőleges n pozitív egészre

$\frac{P(1)+P(3)+P(5)+\dots+P(2n-1)}{n} = \lambda P(n).$

Írjuk fel az összes ilyen polinomot $\lambda$ =2 esetén.

Vojtech Jarnik matematikaverseny, Ostrava, 2005

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?