Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. november 10-én LEJÁRT.

K. 91. A 2163 olyan négyjegyű szám, amelyben az egyesek helyén álló számjegy háromszorosa a százas helyiértéken álló számjegynek, a tízes helyiértéken álló számjegy pedig kétszerese a százas és az ezres helyiértéken álló számjegyek összegének. Igaz-e, hogy az ilyen tulajdonságú négyjegyű számok mindegyike osztható 3-mal?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 92. A pilóták a mutatós óra számlapjának segítségével határozzák meg repülési irányukat. A pilóta mindenkori repülési iránya esik a 12 óra irányába, így a ,,jobbra 90 fok'' helyett ,,3 óra irányában''-t mondanak, a ,,mögöttem'' helyett ,,6 óra irányában''-t. Kövessük egy felderítő repülő útját, amely a támaszpontról indulva egy adott irányba repül 3 percig, majd 2 óra irányába kanyarodik és repül egyenesen 4 percig, aztán újra 2 óra irányába kanyarodik és repül egyenesen 3 percig, végül 4 óra irányába kanyarodik és repül egyenesen 9 percig. Hány óra irányába kell kanyarodnia, hogy egyenesen a támaszpontra tudjon utána repülni? Hány perces repüléssel ér vissza a támaszpontra ebben az irányban haladva?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 93. Sherlock Holmes egy alkalommal a szilfájáról híres Musgrave birtokon nyomozott. A szilfa csúcsának árnyékától kellett ,,északnak tízet és tízet, keletnek ötöt és ötöt, délnek kettőt és kettőt, nyugatnak egyet és egyet'' lépnie, hogy a rejtekhely nyomára bukkanjon. Holmes tudomására jutott azonban, hogy a szövegben szereplő egyik égtáj helyett pont az ellenkező felé (pl. észak helyett dél) kellett volna lépnie. Mivel azonban nem tudta, melyik helyett, az összes lehetőséget kipróbálta, és mindegyik a birtok angolparkján belüli helyen végződött. Tudjuk, hogy Holmes egy lépése 80 cm, és az angolpark alaprajza észak--dél--kelet--nyugat tájolású téglalap. Legalább mekkora az angolpark területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 94. Az ötjegyű $\overline{ABCDE}$ számot 4-gyel szorozva az ötjegyű $\overline{EDCBA}$ számot kapjuk. Határozzuk meg $\overline{ABCDE}$ értékét. (A, B, C, D, E különböző számjegyeket jelölnek.)

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 95. A 3×3-as sakktábla mezőibe úgy írtunk egy-egy számjegyet, hogy bármely mezőről L-alakban (ahogyan a huszár lép) csúsztatva a bábut a négy érintett mezőn levő szám összege mindig ugyanaz az érték. Hányféleképpen tölthető ki ilyen módon a sakktábla, ha minden mezőre írtunk egy, a többitől nem feltétlenül különböző számjegyet?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 96. A 16 cm oldalhosszúságú ABC szabályos háromszög AC oldalát meghosszabbítottuk az A-n túl az AC oldal negyedével és így a P pontot kaptuk. A P pontot kössük össze az AB oldal A-hoz közelebbi negyedelő pontjával. Az így kapott egyenes mekkora részekre vágja a BC oldalt?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

C. 865. Melyik az a szám, amelynek az n-alapú számrendszerben felírt alakja 503, az (n+2)-alapú számrendszerben pedig 305?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 866. Az a paraméter mely értékére lesz az x²-4ax+5a²-6a=0 másodfokú egyenlet két gyöke a legmesszebbre egymástól?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 867. A derékszögű koordinátarendszer origójából indulva rajzolunk egy töröttvonalat az ábra szerint. Minden negyedik szakasz megrajzolása után visszajutunk az y tengelyhez, ahogyan az ábra mutatja.

Egy hazánkban gyártott golyóstoll csomagolásáról megtudtuk, hogy az íráshossza 8000 méter. Ha ezzel a tollal megrajzolnánk egy 0,5 cm egységű koordinátarendszerben a megadott 8000 méter hosszúságú vonalat, hányszor érkeznénk vissza az y tengelyhez?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 868. Adott a síkban négy különböző pont. A négy pont közötti hat távolság közül négy távolság egységnyi, egy pedig 1,2. Mekkora lehet az ismeretlen hatodik távolság?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 869. Egy R sugarú gömbbe írt henger magassága $\frac{4}{3}R$ . Hányadrésze a henger térfogata a gömb térfogatának?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

B. 3932. Oldjuk meg az x²+y²=z-16 egyenletet a pozitív prímszámok halmazán.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3933. Az a_n sorozatot a következőképpen értelmezzük: a₁=1, a_2n=a_n, a_2n+1+a_n=1. Mennyi a₂₀₀₆?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3934. Egy derékszögű háromszögbe az ábra szerint egy téglalapot és két négyzetet írtunk. Mutassuk meg, hogy a téglalap magassága a négyzetek magasságának az összege.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 3935. Egy Hamlet előadáson több szerep párosítva van, például Gertrudis és a Színészkirálynő szerepét ketten is tudják. Az előadás előtt sorsolással döntik el, hogy kettejük közül ki játssza aznap a Színészkirálynőt, illetve Gertrudist. Hasonló sorsolással döntenek a további párok esetében is. Sári egyszer már látta az előadást, de a Gertrudis/Színészkirálynő, Claudius/Színészkirály, Ophelia/Fortinbras szerepeket a másik változatban is szeretné megnézni, bár nem feltétlenül egy előadáson. Hány előadásra váltson még jegyet, hogy legalább 90% legyen annak a valószínűsége, hogy mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3936. Milyen feltételeknek kell teljesülni az a, b, c valós számokra ahhoz, hogy minden n természetes számra létezzék olyan háromszög, amelynek az oldalai aⁿ, bⁿ és cⁿ?

Javasolta: Fried Ervin (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3937. Három vékony fémpálcából 8, 15, 17 cm oldalú háromszöget forrasztottunk, és a vízszintesen tartott háromszög vázra egy 5 cm sugarú tömör gömböt helyeztünk. Milyen arányban osztja a háromszög síkja a gömb térfogatát?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3938. Az 1-nél nagyobb $a_1,a_2,\ldots, a_{10}$ egészek összege 2006. Mekkora az

$\binom{a_1}{2}+\ldots+ \binom{a_{10}}{2}$

összeg lehetséges legkisebb értéke?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3939. Mekkora szög alatt látszik egy 2 egységnyi kerületű derékszögű háromszög átfogója a derékszög belső szögfelezőjének félegyenesén a csúcstól $\sqrt{2}$ távolságra lévő pontból?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 3940. Adott három egyenes a síkon: a, o és c. Tekintsük azokat az ABCD négyzeteket, amelyeknek A csúcsa az a egyenesre, a vele szemközti C csúcs a c egyenesre, míg a négyzet O középpontja az o egyenesre illeszkedik. Határozzuk meg a B és D csúcsok mértani helyét.

Javasolta: Danka Miklós és Kalló Bernát (Fazekas Mihály Főv. Gyak. Gimn., 9. évf.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 3941. Határozzuk meg az összes olyan (p;q;r) pozitív racionális számokból álló hármast, amelyre p+q+r, $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}$ , pqr mindegyike egész szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

A. 407. Az ABCDE négyoldalú gúlában az ACE sík 45^o-os szöget zár be az ABCD, ABE, BCE, CDE és DAE lapok mindegyikével. Igazoljuk, hogy AB²+AD²=BC²+CD².

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 408. Az $a_1,a_2,\ldots,a_n$ és $b_1\le b_2\le\ldots\le b_n$ pozitív valós számokra teljesül, hogy tetszőleges 1 $\le$ k $\le$ n esetén $a_1+a_2+\ldots+a_k \le b_1+b_2+\ldots+b_k$ . Bizonyítsuk be, hogy

$\frac1{a_1}+\frac1{a_2}+\ldots+\frac1{a_n} \ge \frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\ldots+\frac1{b_n}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 409. Tetszőleges pozitív egész m-re legyen s(m) az m számjegyeinek összege. Tetszőleges n $\ge$ 2-re legyen f(n) a legkisebb k, amihez létezik olyan n-elemű, pozitív egészekből álló S halmaz, amelyre $s\left(\sum\limits_{x\in X} x\right)=k$ bármely nemüres X $\subset$ S esetén. Bizonyítsuk be, hogy léteznek olyan 0<C₁<C₂ valós számok, amelyekre

C₁log₁₀n $\le$ f(n) $\le$ C₂log₁₀n.

U.S.A. Matematikai Olimpia, 2005

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)