A KöMaL 2006. novemberi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
K-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. december 11-én LEJÁRT. |
K. 97. A Sárkány utcában 7 ház van, 1-től 7-ig számozva. Kihor Dani postás a múlt héten minden nap két házba kézbesített levelet. Az utcában levő házak közül kettőbe egyik nap sem vitt küldeményt, a többibe viszont kétszer is. A házszámok összege, ahol Dani a hét egyes napjain járt: hétfőn 5, kedden 8, szerdán 9, csütörtökön 13, pénteken 7. (Szombaton és vasárnap nincs posta.) Melyik két ház nem kapott levelet a héten?
(6 pont)
K. 98. Az egyik évben január 1-je nem esett hétvégére, december 31-e viszont igen. A tanév szeptember 1-jén kezdődött. Ez a nap a hét melyik napjára esett?
(6 pont)
K. 99. Egy dobozba három különböző csokoládéból 16 darabot csomagolnak. Az ábra mutatja a különböző csokoládék elhelyezkedését.
Az első sorban a négy csokoládé tömege 14 dkg, a második sorban 11 dkg, az első oszlopban pedig 10 dkg. Hány dekagramm csokoládét vásárolunk, ha megvesszük mind a tizenhatot?
(6 pont)
K. 100. Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán:
(6 pont)
K. 101. Gyuri 17 évvel idősebb Annánál. Ha Anna életkora mögé írjuk Gyuri életkorát, egy négyjegyű négyzetszámot kapunk. Tizenhárom év múlva ugyanezt mondhatjuk el. Hány évesek most?
(6 pont)
K. 102. Az 1 m2-es asztallapra leraktunk négy darab 32 dm2-es és kettő darab 21 dm2-es kartonlapot. Ezek egyike sem lóg le az asztalról. Igaz-e, hogy van két olyan kartonlap, amelyek legalább 4 dm2-en fedik egymást?
(6 pont)
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT. |
C. 870. Egy autókereskedő átlagosan napi 7 autót adott el egy bizonyos időszakban. A leggyengébb forgalmú napot figyelmen kívül hagyva, a fennmaradó napokon átlagosan értékesített autók száma 8. A legerősebb napot nem számítva ez a szám 5. Végül, ha sem a leggyengébb, sem a legerősebb napot nem vesszük figyelembe, akkor a napi átlag 5,75-nak adódik.
Hány autót adott el a kereskedő ebben az időszakban?
(5 pont)
C. 871. Igazoljuk, hogy ha az
kifejezés értelmezve van, akkor értéke független az x, y és z változók értékétől.
(5 pont)
C. 872. Egy 12 cm sugarú negyedkörlapból kivágunk az egyik határoló sugara fölé, mint átmérő fölé rajzolt félkört. Az így kapott síkidomba rajzolt legnagyobb körnek mekkora a sugara?
(5 pont)
C. 873. Milyen valós x-ek esetén lesz a
kifejezés értéke a legnagyobb?
(5 pont)
C. 874. Egy 3 m oldalú négyzet alapú újságos pavilon tetőszerkezete két egymást átható szabályos háromoldalú hasáb, amelyek egy-egy oldallapja a mennyezettel esik egybe. (A két hasáb egymáshoz képest 90o-kal el van forgatva.) Mekkora a tetőfelület nagysága?
(5 pont)
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT. |
B. 3942. Melyek azok a kétjegyű páros számok, amelyek ötödik hatványa -re végződik?
(Tanárképző főiskolák matematika versenye, 1973)
(3 pont)
B. 3943. Az ABCD trapéz átlói az M pontban metszik egymást. Az ABM és CDM háromszögek területe 18, illetve 50 egység. Mekkora a trapéz területe?
(3 pont)
B. 3944. Ábrázoljuk a derékszögű koordináta-rendszerben azokat az (x;y) valós számpárokat, amelyekre
(3 pont)
B. 3945. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:
x3+y3+z3=8,
x2+y2+z2=22,
(3 pont)
B. 3946. A hegyesszögű ABC háromszög C-ből induló szögfelezője messe a szemközti oldalt az F pontban. Az F-ből a BC, illetve CA oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai rendre P és Q. Legyen M az AP és BQ egyenesek metszéspontja. Bizonyítsuk be, hogy AB és CM merőleges egymásra.
(4 pont)
B. 3947. Egy körhöz egy külső P pontból húzott érintő szakaszok hossza legyen h, az érintési pontokat összekötő szakasz felezőpontja F. Bizonyítsuk be, hogy a kör egy AB húrjára AP.PB=h2 pontosan akkor teljesül, ha az AB egyenes illeszkedik a P vagy az F pontra.
(4 pont)
B. 3948. A valós a, b számokra teljesül, hogy a2+4b2=4. Milyen nagy lehet 3a5b-40a3b3+48ab5?
Javasolta: Horváth Zoltán, Veresegyház
(4 pont)
B. 3949. Az n milyen pozitív egész értékeire van olyan egyszerű gráf, amelynek minden csúcsa legfeljebb n-edfokú és minden 1in esetén i darab i-edfokú csúcsa van?
Javasolta: Mészáros Gábor, Kemence
(4 pont)
B. 3950. Legyen a H a 2006-nál nem nagyobb pozitív egészek halmaza: H={1,2,...,2006}. Jelölje D a H halmaz azon részhalmazainak a számát, amelyekben az elemek összegét 32-vel osztva 7-et kapunk maradékul, és jelölje S a H halmaz olyan részhalmazainak a számát, amelyekben az elemek összegét 16-tal osztva 14-et kapunk maradékul. Igazoljuk, hogy S=2D.
(OKTV feladat nyomán)
(5 pont)
B. 3951. Tegyük fel, hogy a, b, n, k pozitív egészek, n páratlan, p páratlan prímszám, és an+bn=pk. Igazoljuk, hogy az n a p-nek nemnegatív egész kitevős hatványa.
(5 pont)
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. december 15-én LEJÁRT. |
A. 410. Az ABC háromszög belső szögfelezői a BC, CA, AB oldalakat rendre az A1, B1, illetve C1 pontokban metszik. A C1 pont merőleges vetülete az A1B1 egyenesre F. Mutassuk meg, hogy az FC1 egyenes felezi az AFB szöget.
(5 pont)
A. 411. Legyenek pozitív valós számok, amikre teljesül, hogy
Igazoljuk, hogy .
Vietnami versenyfeladat
(5 pont)
A. 412. Legyen t irracionális szám, és tetszőleges x, y egész számokra legyen
Az f(x,y) függvény többféleképpen is felírható u(x)+v(y)+w(x-y) alakban, ahol az u, v és w függvények az egész számokhoz rendelnek valós számokat. Bizonyítsuk be, hogy
(a) Az f függvénynek létezik olyan felírása, amikor u, v és w is korlátos;
(b) Létezik olyan felírás, amikor u, v és w is csak egész értékeket vesz fel;
(c) Nincs olyan felírás, amikor u, v és w is korlátos és csak egész értékeket vesz fel.
Javasolta: Keleti Tamás (Budapest)
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)