A KöMaL 2009. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

C. 990. Határozzuk meg azokat az egész számokat, amelyekre a

6x²-167x-4823

kifejezés értéke

a) prímszám;

b) a lehető legkisebb egész szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 991. A 3, 4, 5 oldalú derékszögű háromszöget az átfogóra merőleges egyenessel szétvágjuk egy érintőnégyszögre és egy derékszögű háromszögre. Határozzuk meg a négyszög oldalainak hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 992. Egy cégnél az általuk forgalmazott édességet úgy kívánják népszerűsíteni, hogy egyes dobozokba nyereményutalványt rejtenek el. A vezetőség szerint az akció akkor hatásos, és a költség is elviselhető, ha kb. 50% valószínűséggel talál legalább 1 utalványt az a vevő, aki 10 dobozzal vásárol a termékből. Hány dobozonként kell ehhez utalványt tenni?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 993. Az ABC egyenlő szárú háromszög AB alapjának felezőpontja F. Jelölje D az F pontnak a BC oldalra eső merőleges vetületét. Legyen E a DF szakasz felezőpontja. Bizonyítsuk be, hogy CE merőleges AD-re.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 994. Legyen x<y<z. Oldjuk meg a természetes számok halmazán a következő egyenletet:

$3^x+3^y+3^z=179\;415.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

B. 4182. Egy t területű derékszögű háromszög átfogójának végpontjai egy ellipszis fókuszpontjaiba esnek, harmadik csúcsa pedig az ellipszisre illeszkedik. Igazoljuk, hogy az ellipszis területe legalább $\sqrt{2}\pi t$ .

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4183. Melyek azok a számtani sorozatok, amelyekben az első n elem összege minden n-re négyzetszám?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4184. Egy húrnégyszög csúcsai a körülírt kört négy ívre osztják, melyek felezőpontjai sorban F₁, F₂, F₃ és F₄. Mutassuk meg, hogy az F₁F₃ szakasz merőleges F₂F₄-re.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4185. Mutassuk meg, hogy minden nemnulla polinomnak van olyan nemnulla polinomszorosa, amelyben minden tag kitevője osztható 3-mal.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4186. Az ABC hegyesszögű háromszög magasságvonalai mint átmérők fölé köröket rajzolunk. Minden körben meghúzzuk a megfelelő magasságvonalra merőleges, a háromszög magasságpontján átmenő húrt. Bizonyítsuk be, hogy ezek a húrok egyenlő hosszúak.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4187. Legyenek a, k és n pozitív egész számok. Határozzuk meg az aⁿ+1 és a^k+1 számok legnagyobb közös osztóját.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4188. Az ABCD négyszög AB és CD oldala nem párhuzamos. Legyen ezen oldalak egy-egy belső pontja E, illetve F. Bizonyítsuk be, hogy az AF, CE, BF és DE szakaszok felezőpontjai egy olyan konvex négyszöget határoznak meg, amelynek területe nem függ az E és F pontok helyzetétől.

Kvant

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4189. Határozzuk meg az összes olyan, a valós számok halmazán értelmezett monoton f függvényt, amelyre bármely x valós szám esetén

f(x)+2x=f(f(x)).

Kvant

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4190. Hat egybevágó kockából az ábrán látható testet ragasztottuk össze. Kitölthető-e a tér hézagmentesen és átfedések nélkül ennek a testnek egybevágó példányaival?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4191. Mely a, b, c pozitív egész számok esetén igaz az, hogy 2^a-1 osztható b-vel, 2^b-1 osztható c-vel és 2^c-1 osztható a-val?

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2009. június 15-én LEJÁRT.

A. 482. Bizonyítsuk be, hogy ha n pozitív egész szám, akkor

$\sum_{k=-n}^n {(-1)}^k \left(\cos\frac{k\pi}{2n+1}\right)^{2n+1} > 0.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 483. Legyen tetszőleges 0<k $\le$ n és a>1 egész számok esetén

${\binom{n}{k}}_{a} = \frac{(a^n-1)(a^{n-1}-1)\cdot\ldots \cdot(a^{n-k+1}-1)}{(a^k-1)(a^{k-1}-1) \cdot\ldots\cdot(a-1)}.$

(a) Igazoljuk, hogy ${\binom{n}{k}}_{a}$ egész szám.

(b) Léteznek-e olyan 0<k<n<m és a>1 egészek,

amelyekre ${\binom{m}{1}}_{a}$ osztója ${\binom{n}{k}}_{a}$ -nak?

(5 pont)

statisztika

A. 484. Adott a síkbeli derékszögű koordinátarendszerben egy K konvex sokszöglemez. A K pontjaira alkalmazzuk az (x,y) $\mapsto$ (x,py) merőleges affinitást, ahol 0<p<1. A kapott sokszöglemezt jelöljük K'-vel. Bizonyítsuk be, hogy K' lefedhető egy K-val egybevágó sokszöglemezzel.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?