A KöMaL 2010. májusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT. |
C. 1035. Egy matematikaversenyen három feladatot tűztek ki. 56 versenyző oldott meg legalább egy feladatot. 2 versenyző volt, aki mindhárom feladatot megoldotta. A harmadik feladatot megoldók közül 10-zel többen oldották meg a másodikat, mint az elsőt. Az elsőt és a másodikat is megoldó versenyzők 10-zel többen voltak, mint akik csak a harmadikat oldották meg. Aki megoldotta az elsőt és a harmadikat is, az a másodikat is megoldotta. Akik csak az első vagy csak a második feladatot oldották meg, összesen 14-en voltak. Hány versenyző oldotta meg a harmadik feladatot?
(5 pont)
C. 1036. Hány olyan 11-gyel osztható 9-jegyű szám van a tízes számrendszerben, amelyben a nulla kivételével minden számjegy előfordul?
(5 pont)
C. 1037. Egy félkör köré írt egyenlőszárú háromszög alapja az átmérő egyenesére esik, szárai pedig érintik a félkört. Az ilyen háromszögek közül melyiknek legkisebb a területe?
(5 pont)
C. 1038. Legyen a valós számok halmazán értelmezett függvény hozzárendelési szabálya a következő:
Oldjuk meg a egyenletet a valós számok halmazán.
(5 pont)
C. 1039. Egy gömb belsejében négy egységsugarú gömb úgy helyezkedik el, hogy mindegyikük érinti ezt a gömböt és a másik három egységsugarú gömböt is. A nagyobb gömb térfogatának hányad részét tölti ki együttvéve a négy egységsugarú gömb?
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT. |
B. 4272. Az (an) sorozat elemei pozitív egész számok és minden n
1 esetén an+1=an2+5an+1 teljesül. Lehet-e a sorozat összes tagja összetett szám?
(5 pont)
B. 4273. Adott a síkon hat olyan kör, amelyeknek van közös belső pontjuk. Igazoljuk, hogy a körök között van olyan, amely a belsejében tartalmazza egy másik megadott kör középpontját.
(4 pont)
B. 4274. Egy egységnyi területű paralelogramma oldalainak hossza a és b, ahol a<b<2a. Mekkora a paralelogramma belső szögfelezői által határolt négyszög területe?
(3 pont)
B. 4275. Oldjuk meg a következő egyenletet:
\(\displaystyle x^{6}-x^{3}-2x^{2}-1=2(x-x^{3}+1)\sqrt{x}\,. \)
Javasolta: Pintér Ferenc (Nagykanizsa), Szoldatics József (Budapest)
(4 pont)
B. 4276. Mutassuk meg, hogy a háromszög bármelyik magassága legfeljebb akkora, mint a közrefogó oldalakhoz tartozó hozzáírt körök sugarának mértani közepe.
(4 pont)
B. 4277. Oldjuk meg az egész számok halmazán az \(\displaystyle x^{3}+y^{3}+1=x^{2}y^{2}\) egyenletet.
Javasolta: Surányi László (Budapest)
(5 pont)
B. 4278. Oldjuk meg a
egyenletrendszert, ahol a és b valós paraméter.
(3 pont)
B. 4279. Igaz-e, hogy ha egy tetraéder bármely belső pontjának az oldallapoktól vett távolságösszege állandó, akkor a tetraéder szabályos?
(4 pont)
B. 4280. Az ABC háromszög k köréírt körén a C-t tartalmazó AB ív felezőpontja M. Az AB oldalhoz hozzáírt kör középpontja J. A J pontban a CJ szögfelezőre állított merőleges az AC egyenest D-ben, a BC egyenest E-ben metszi. Az MJ egyenes a k kört másodszor F-ben metszi. Igazoljuk, hogy a D, E, F pontokon átmenő kör érinti az AC és a BC egyeneseket, továbbá érinti k-t is.
(5 pont)
B. 4281. Valaki gondolt n darab nem feltétlenül különböző egész számra, és egy lapra felírta a belőlük képezhető összes (2n-1 darab) összeget, melyek között a 0 nem szerepelt. Meghatározhatók-e ebből az eredeti számok?
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2010. június 10-én LEJÁRT. |
A. 509. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan c>0 valós szám, amire a következő tulajdonság teljesül: tetszőleges páronként különbőző pozitív egészek (n
3) között van három olyan, amelyek legkisebb közös többszöröse legalább c.n2,99.
(5 pont)
A. 510. Adott egy n pozitív egész, és adott néhány egyenes a síkban úgy, hogy egyik egyenes sem megy át a (0,0) ponton, és minden olyan (a,b) rácsponton, ahol 0
a,bn egészek és a+b>0, az egyenesek közül legalább a+b+1 átmegy. Bizonyítsuk be, hogy az egyenesek száma legalább n(n+3).
(5 pont)
A. 511. Mutassuk meg, hogy tetszőleges n, k pozitív egészekhez létezik olyan, legfeljebb -adfokú p(x) polinom, amelyre
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)