Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2010. novemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

K. 265. Egy férfi vonattal jár a városba dolgozni. Minden nap ugyanazzal a vonattal érkezik meg a vasútállomásra, és a felesége kimegy érte autóval. A feleség úgy indul el otthonról, hogy éppen akkor érjen oda az állomásra, amikor a férje megérkezik. Egy napon a férfi egy órával korábban érkezett meg az állomásra, és elindult hazafelé gyalog azon az úton, amelyen a felesége rendszeresen hazavitte őt. A feleség aznap is a szokásos időben indult el, de amikor az út mellett észrevette a férjét, azonnal megfordult, felvette, és így a szokásosnál 20 perccel korábban értek haza. Hány percen át gyalogolt a férfi az út mellett?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 266. Legyenek a, b, c, d pozitív egészek. Tudjuk, hogy $\frac{a}{b}<\frac{c}{d}$ . Mutassuk meg, hogy $\frac{a+c}{b+d}$ mindig $\frac{a}{b}$ és $\frac{c}{d}$ közé esik.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 267. Tudjuk, hogy $\overline{ab} +\overline{acb} =2\cdot \overline{ba}$ , ahol $\overline{ab}$ és $\overline{ba}$ kétjegyű, $\overline{acb}$ pedig háromjegyű szám. Határozzuk meg az összeadásban szereplő számjegyeket, ha c=0.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 268. Hány egységnyi annak a körnek a sugara, amelynek a 6 egység hosszú húrja kétszer olyan messze van a kör középpontjától, mint a 12 egység hosszú húrja?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 269. Miért nem találunk olyan egészekből álló (x,y) számpárt, amelyre

xy(x²-y²)=2925?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 270. Egy becsületes bukmékernél csak igazságos fogadásokat lehet kötni. Ha pl. 3:5 arányban fogadunk valamire, akkor az azt jelenti, hogy 3-at fizetünk, ha vesztünk, és 5-öt kapunk, ha nyerünk a fogadáson, de ez a fogadás hosszú távon nem hozna nyereséget senkinek. Egy lóversenyen három ló indul: Varázsló, Hanyatló és Kaszáló. A becsületes bukmékernél 2:1 arányban fogadunk Kaszáló győzelmére, és 3:7 arányban Varázsló győzelmére. Milyen arányban lehet Hanyatló győzelmére fogadni?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

C. 1050. Mint tudjuk, nálunk jelenleg hatféle bankjegy van forgalomban: ötszáz, ezer, kétezer, ötezer, tízezer és húszezer forintos. Hányféle összeg fizethető ki három bankjeggyel?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1051. Két egymást követő négyzetszám között kiválasztjuk az n természetes számot. n-ből k-t kivonva a kisebbik, l-t hozzáadva a nagyobbik négyzetszámot kapjuk.

Bizonyítsuk be, hogy n-kl négyzetszám.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1052. Az ABC hegyesszögű háromszög A csúcsából merőlegest állítunk a BC oldalra, ennek talppontja T. T-ből merőlegest állítunk az AB és AC oldalakra, ezek talppontjai P és Q.

Bizonyítsuk be, hogy BPQC négyszög húrnégyszög.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1053. Mutassuk meg, hogy a

(2n-1)²ⁿ⁺¹+(2n+1)^2n-1

összeg osztható 4-gyel.

Holló Gábor (Budapest) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1054. Az ABCDA₁B₁C₁D₁ egységnyi élű kocka BC élnek felezőpontja F, a DCC₁D₁ négyzet középpontja O. Az AFO háromszög síkja két testre vágja szét a kockát. Határozzuk meg e két test térfogatának arányát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

B. 4302. Egy szakasz katona úgy sorakozott fel egy egyenes mentén kelet-nyugati irányban, hogy minden katona észak felé néz. A parancsnok ,,jobbra át''-ot vezényel. Ezután minden katonának kelet felé kellene néznie, de -- mivel még a kiképzés elején tartanak -- néhány katona eltéveszti az irányt és nyugatra fordul. Minden olyan katona, aki most szemtől-szembe néz valamelyik szomszédjával, azt gondolja, hogy hibát követett el, ezért egy másodperces reakcióidő elteltével 180 fokos fordulatot hajt végre. Ha ezután megint lesznek szomszédos katonák, akik szembe kerülnek egymással, újabb egy másodperc elteltével ők is megfordulnak, és így tovább. Bizonyítsuk be, hogy egy idő után abbamarad a forgolódás.

(Matematikai Tehetségkutató Verseny, U.S.A.)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4303. Adott egy téglalap, ami nem négyzet. Félbehajtjuk az egyik átlója mentén. Bizonyítsuk be, hogy a kapott ötszög kerülete kisebb az eredeti téglalap kerületénél.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4304. Van-e olyan pozitív egész k, amelyre

$\big(\dots\big((4\underbrace{!)!\big)!\dots\big)!}_{k} > \big(\dots\big((3\underbrace{!)!\big)!\dots\big)!}_{k+1}$

teljesül?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4305. Egy n-szög alapú gúlának legfeljebb hány élét metszheti egy sík?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4306. Oldjuk meg a következő egyenletet:

16^x²+y+16^y²+x=1.

(Erdélyi versenyfeladat)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4307. Adott az ABC háromszög két oldalán két-két pont. Bizonyítsuk be, hogy a négy pont által alkotott négy háromszög közül legalább egynek a területe nem nagyobb az ABC háromszög területének a negyedénél.

Surányi László (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4308. Adott az ABCD négyszög. Mutassuk meg, hogy az ABC, ABD, ACD és BCD háromszögek Feuerbach-köreinek van közös pontja.

Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4309. Melyik az a legkisebb n pozitív egész szám, amelyre 3²ⁿ-1 osztható 2²⁰¹⁰-nel?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4310. Legyenek $a_0,a_1,\ldots,a_n$ olyan pozitív számok, melyekre minden k=0,1,...,n-1 esetén a_k+1-a_k $\ge$ 1. Mutassuk meg, hogy

$1 + \frac1{a_0} \left(1+\frac1{a_1-a_0}\right) \cdots \left(1+\frac1{a_n-a_0}\right) \le \left(1+\frac1{a_0}\right) \left(1+\frac1{a_1}\right) \cdots \left(1+\frac1{a_n}\right).$

(IMC 2010 -- Blagoevgrad, Bulgária)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4311. Adott az ABC hegyesszögű háromszög belsejében egy P pont. Az AP, BP és CP egyenesek a szemközti oldalakat rendre A₁, B₁ és C₁ pontokban metszik. Tudjuk, hogy PA₁=PB₁=PC₁=3 és AP+BP+CP=43. Igazoljuk, hogy AP^.BP^.CP=441.

Máder Attila és Vigh Viktor (Szeged)

(4 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2010. december 10-én LEJÁRT.

A. 518. Egy n elemű halmaznak legfeljebb hány különböző A₁,...,A_t részhalmaza adható meg úgy, hogy bármely 1 $\le$ i<j<k $\le$ t esetén $(A_i\cap A_k)\subseteq A_j$ teljesüljön?

(Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny, 2010)

(5 pont)

A. 519. Legyen n $\ge$ 3 és k pozitív egész szám. Az asztalon úgy helyezünk el n érmét, hogy mindegyiken a fej legyen felül. Ezután összesen k-szor végrehajtjuk a következő operációt: véletlenszerűen -- egyenlő valószínűséggel --, kiválasztunk egy érmét, és a kiválasztott érmét megfordítjuk.

Bizonyítsuk be, hogy annak valószínűsége, hogy az eljárás végén mindegyik érmén az írás lesz felül, kisebb, mint $\frac{1}{2^{n-1}}$ .

Javasolta: Rónyai Lajos és Kós Géza

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 520. Van-e olyan, nemnegatív számokból álló a₁,a₂,... végtelen sorozat, amelyre $\sum_{n=1}^\infty a_n^2$ véges és

$\sum_{n=1}^\infty \bigg(\sum_{k=1}^\infty\frac{a_{kn}}{k}\bigg)^{\!\!2} = \infty?$

(Schweitzer Miklós Matematikai Emlékverseny, 2010)

(5 pont)

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)