A KöMaL 2011. májusi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

C. 1080. Egy kétmotoros kormányozható léghajó adott benzinkészlettel rendelkezik. Mindkét motort üzembe helyezve, 88 kilométert tesz meg egy óra alatt. Ha csak az első motort használnák, a benzinkészlet 25 órával tovább tartana, de így csak 45 kilométert tennének meg óránként. Ha csak a második motort használnák, a benzinkészlet 16 órával tartana tovább, mint két motorral, és így 72 kilométert tennének meg óránként. Melyik módszerrel jut a legmesszebbre a léghajó?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1081. Két szabályos sokszöget nevezzünk összetartozónak, ha az egyik belső szögének a kétszerese egyenlő a másik külső szögének a háromszorosával. Határozzuk meg az összetartozó szabályos sokszögpárokat.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1082. Egy hatjegyű szám első számjegyét áthelyezzük a szám végére, majd az így kapott hatjegyű szám első számjegyét ismét áthelyezzük a szám végére. Így egy olyan hatjegyű számot kapunk, amely az előbbinek háromszorosa, az eredetinek pedig $\frac 35$ -szöröse. Melyik az eredeti hatjegyű szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1083. Egy háromszög egyik oldalának hossza 8 cm, a rajta fekvő egyik szög 60^o-os, a háromszögbe írható kör sugara pedig $\sqrt 3$ cm. Mekkora a háromszög másik két oldala?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1084. Az y²=4x egyenletű parabola húrját a P(8;4) pont 1:4 arányban osztja. Adjuk meg a húr végpontjainak a koordinátáit.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

B. 4362. Egy tömör kocka minden csúcsát úgy vágtuk le, hogy így egy 8 háromszöglapból és 6 hétszöglapból álló testet kaptunk. Hány csúcsa és éle lehet az ilyen poliédereknek?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4363. Egy táblára felírtuk 2-től 2011-ig a természetes számok reciprokait. Egy lépésben letörlünk két számot, x-et és y-t, s helyettük felírjuk az

$\frac{xy}{xy + (1-x)(1-y)}$

számot. Ezt ismételve 2009-szer, csak egy szám marad. Mi lehet ez a szám?

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4364. Legyen a $\ge$ b $\ge$ c>0. Igazoljuk, hogy

$\frac{a^{2}-b^{2}}{c}+\frac{c^{2}-b^{2}}{a}+\frac{a^{2}-c^{2}}{b}\ge 3a-4b+c.$

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4365. Keressük meg az összes olyan n pozitív egész számot, amelyre 2ⁿ-1 és 2ⁿ⁺²-1 is prím, továbbá 2ⁿ⁺¹-1 nem osztható 7-tel.

Javasolta: Kiss Sándor (Budapest)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4366. Az ABC hegyesszögű háromszög magasságpontját jelölje M, a BCM, CAM, ABM háromszögek köré írt körök középpontjait pedig rendre A₁, B₁, C₁. Igazoljuk, hogy az AA₁, BB₁ és CC₁ egyenesek egy ponton mennek keresztül.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4367. Oldjuk meg a következő egyenletet:

$\frac{3x+3}{\sqrt{x}}=4+\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}-x+1}}.$

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4368. Az ABC háromszög AB, BC, CA oldalain vegyük fel rendre a D, E és F pontokat úgy, hogy AD:DB=BE:EC=CF:FA $\ne$ 1. Az AE, BF, CD egyenesek egymást a G, H, I pontokban metszik. Igazoljuk, hogy az ABC és GHI háromszögek súlypontja megegyezik.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4369. A k₁, k₂ és k₃ körök mindegyike átmegy a P ponton, továbbá a k_i és k_j körök az M_i,j ponton is. Legyen A a k₁ kör tetszőleges pontja. Legyen k₄ az A-n és M_1,2-n, k₅ pedig A-n és M_1,3-on átmenő tetszőleges kör. Mutassuk meg, hogy ha k₄ és k₂, k₅ és k₃, valamint k₄ és k₅ második metszéspontjai rendre B, C és D, akkor az M_2,3, B, C, D pontok egy körön vagy egy egyenesen vannak.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4370. Jelölje a, b, c egy háromszög oldalainak hosszát, u, v, w pedig a beírt kör középpontjának a velük szemben levő csúcsoktól vett távolságát. Bizonyítsuk be, hogy

$(a+b+c) \left(\frac{1}{u}+\frac{1}{v}+\frac{1}{w}\right)\le 3\left(\frac{a}{u}+\frac{b}{v}+\frac{c}{w}\right).$

Javasolta: Mészáros József (Jóka)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4371. Igazoljuk, hogy

$\frac{1}{\sin^2{\frac{\pi}{14}}} + \frac{1}{\sin^2{\frac{3\pi}{14}}} + \frac{1}{\sin^2{\frac{5\pi}{14}}} = 24.$

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2011. június 10-én LEJÁRT.

A. 536. Az a, b, c, d pozitív valós számokra a+b+c+d=abc+abd+acd+bcd teljesül. Igazoljuk, hogy

$(a+b)(c+d)+(a+d)(b+c) \ge 4\sqrt{(1+ac)(1+bd)}.$

(5 pont)

statisztika

A. 537. Az n pontú teljes gráf éleit megszámoztuk az $1,2,\dots,\binom{n}{2}$ számokkal úgy, hogy mindegyik szám pontosan egyszer fordul elő. Igazoljuk, hogy ha n elég nagy, akkor a gráfban van olyan (esetleg körbezáródó) három élből álló út, amelynek éleihez rendelt számok összege legfeljebb 3n-1000.

(Kolmogorov Kupa, 2009; I. Bogdanov, G. Cselnokov és K. Knop feladata)

(5 pont)

statisztika

A. 538. Adott a 3-dimenziós hiperbolikus térben egy $\mathcal{P}$ sík, valamint négy különböző egyenes, a₁, a₂, r₁ és r₂ olyan helyzetben, hogy a₁ és a₂ merőleges $\mathcal{P}$ -re, r₁ koplanáris a₁-gyel, r₂ koplanáris a₂-vel, továbbá r₁ és r₂ ugyanakkora szögben döfi $\mathcal{P}$ -t. Forgassuk körbe r₁-et a₁ körül, és r₂-et a₂ körül; az általuk súrolt két forgásfelületet jelölje $\mathcal{S}_1$ , illetve $\mathcal{S}_2$ . Mutassuk meg, hogy $\mathcal{S}_1$ és $\mathcal{S}_2$ közös pontjai egy síkban vannak.

(A nemeuklideszi geometriákról Olvasóink például H. S. M. Coxeter A geometriák alapjai vagy Reiman István A geometria és határterületei c. könyvében olvashatnak.)

(5 pont)

statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?