A KöMaL 2012. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

K. 319. a) Milyen számjegyet jelöl az a, illetve a b, ha $\overline{2a6} +158=\overline{3b4}$ osztható 3-mal?

b) Mi lehet c, illetve d, ha $\overline{2c6} +118=\overline{4d4}$ osztható 4-gyel?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 320. Az $\overline{abcd}$ négyjegyű szám négy különböző pozitív számjegyből áll, továbbá tudjuk, hogy $\overline{abcd} +\overline{bcda} +\overline{cdab} +\overline{dabc} =31\;108$ . Hány ilyen $\overline{abcd}$ négyjegyű szám van?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 321. Egy szabályos hatszög alakú asztallapot szimmetriaátlója mentén kettévágtunk, így két szimmetrikus trapéz alakú asztallapot kaptunk. A könyvtár olvasótermében ilyen trapéz alakú zöld, kék és piros asztallapok vannak. Nyolc ilyen asztallapból egy nagyobb szabályos hatszöget állítottunk össze.

a) Hányféleképpen alakíthatjuk ki ezt a formát, ha két élben szomszédos asztallap nem lehet azonos színű? (A forgatással egymásba vihető alakzatokat nem tekintjük különbözőnek.)

b) Az így összerakott hatszög körül 12-en tudnak kényelmesen leülni, mert a trapéz hosszú oldalához két szék, a többi oldalhoz csak egy-egy szék fér el. Hány darab asztallapból lehetne összerakni egy olyan nagy hatszöget, amely körül 18-an kényelmesen elférnek?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 322. Az $\overline{ababab}$ hatjegyű számok közül k számú, az $\overline{abcabc}$ hatjegyű számok közül n számú osztható 15-tel. Számítsuk ki a $\frac{k}{n}$ hányadost.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 323. Az ABC egyenlő szárú háromszög szárszöge 120^o, az AB alap felezőpontja F. Az $ACF\sphericalangle$ szögfelezője az AB alapot H pontban metszi.

a) Igazoljuk, hogy AH=CH.

b) Igazoljuk, hogy H az AB szakasz A csúcshoz közelebbi harmadolópontja.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 324. 99 piros kiskockából építettünk 3 nagyobb kockát, majd ezeket (kívül) fehérre festettük. Mindhárom kockát újra kiskockákra szedve a kockák közül véletlenszerűen választva egyet, mekkora a valószínűsége, hogy azzal dobva piros oldal lesz felül?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

C. 1105. Rajzoltunk két szabályos sokszöget. Az egyiknek pirosra festettük az oldalait és zöldre az átlóit, a másiknak pedig zöldre festettük az oldalait és pirosra az átlóit. A piros szakaszok száma 103, a zöld szakaszoké 80. Hány oldala van a sokszögeknek?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1106. Hány zérushelye van az a paramétertől függően az

$f(x)=\left\{\matrix{ \sqrt{x^2 + 4x +4}-a, & {\rm ha \ } x\le 0, \cr x^2-4x+a, & {\rm ha \ } x>0 \cr }\right.$

hozzárendeléssel megadott függvénynek?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1107. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a valós számpárok halmazán:

3x²-xy+3y²=16,

7x²-4xy+7y²=38.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1108. Az ABC derékszögű háromszögben az átfogóhoz tartozó magasság CD. Bizonyítsuk be, hogy az ADC és BCD háromszögekbe írt körök területének összege egyenlő az ABC háromszögbe írt kör területével.

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1109. KöMaL Ankéton a totón 14 kérdést tettünk föl, kérdésenként 4-4 lehetséges válasszal. A legjobb eredmény 10 találat volt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy véletlen kitöltés esetén ezt az eredményt érjük el?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

B. 4412. Amikor a hajó annyi idős lesz, mint a kapitány most, akkor a kapitány éppen 32 évvel lesz idősebb, mint amennyi a hajó volt akkor, amikor a kapitány feleannyi idős volt, mint a hajó most. Hány éves lehet a kapitány?

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4413. Egy 4 egység területű $\mathcal T$ szimmetrikus trapézról tudjuk, hogy nem téglalap, de felbontható négy egybevágó, $\mathcal T$ -hez hasonló trapézra. Határozzuk meg $\mathcal T$ oldalait és szögeit.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4414. Egy asztalon 98 pálca van, a hosszuk 1,2,3,...,98 egység. Andrea és Béla a következő játékot játsszák: felváltva elvesznek egy-egy általuk választott pálcát; a játékot Andrea kezdi. A játéknak akkor van vége, amikor pontosan három pálca marad az asztalon. Ha a megmaradó három pálcából összeállítható egy háromszög, akkor Andrea nyer, különben Béla. Kinek van nyerő stratégiája?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4415. Legyen B az AC szakasz belső pontja. Az AB, BC és AC szakaszok Thálesz-körei rendre k₁, k₂ és k₃, sugaraik r₁, r₂ és r₃. A k₁ és k₂ körök egyik közös külső érintője által a k₃ körből lemetszett kisebbik körszeletbe írt érintő kör sugara r₄. Mutassuk meg, hogy r₁^.r₂=r₃^.r₄.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4416. Szerkesszünk háromszöget, ha adott egy csúcsa, a magasságpontja és a súlypontja.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4417. Oldjuk meg a

$\sin x+\frac 12 \cos x= \sin^2(x+{45}^\circ)$

egyenletet.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4418. Az ABC háromszög oldalaira kifelé az ABD, BCE és CAF szabályos háromszögeket rajzoltuk. Legyenek a DE, EF és FD szakaszok felezőpontjai rendre G, H és I. Igazoljuk, hogy az AHB, BIC és CGA szögek összege 180^o.

Javasolta: Miklós Szilárd (Herceghalom)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4419. Kassza Blanka, szenvedélyes szerencsejátékos tegnap 20 000 forintot dobált bele egy félkarú rabló gépbe, amit ráadásul a családja tudta nélkül, a kosztpénzből vett kölcsön. Hogy a dolog ne tudódjon ki, ma a családi kasszából magához veszi a maradék 40 000 forintot is, és ismét meglátogatja a kaszinót, ahol leül az egyik rulettasztalhoz. Mivel nem akar túl sokat kockáztatni, minden menetben a pirosra vagy a feketére tesz 1000 forintot. Ha nyer, aminek 18/37 az esélye, akkor 1000 forinttal gazdagodik, különben elveszíti a feltett pénzt. Akkor hagyja abba a játékot, ha sikerül összesen 60 000 forintot összegyűjtenie -- ebben az esetben otthon hiánytalanul visszateheti a pénzt a helyére -- vagy pedig mindenét elveszíti. Mekkora a valószínűsége, hogy Kassza Blankának sikerül a 60 000 forintot összegyűjtenie?

Pálvölgyi Dömötör (Budapest) ötletéből

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4420. Egy téglatest egy csúcsba futó éleinek hossza 7, 14 és 21 egység. Melyik az a két szomszédos lapra illeszkedő kitérő lapátló, amelyek távolsága a lehető legkisebb?

(Kavics Kupa 2011 feladata nyomán)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4421. Legyen t rögzített egész szám. Mutassuk meg, hogy minden p páratlan prímszámhoz található olyan n pozitív egész, amelyre

(3-7t)2ⁿ+(18t-9)3ⁿ+(6-10t)4ⁿ

osztható p-vel.

Javasolta: Kalina Kende (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

A. 551. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan, pozitív egészekből álló (a,b) pár létezik, amire ab+1 osztható (a+b)-vel, ab-1 osztható (a-b)-vel, b>1 és ${a>b\sqrt3-1}$ .

(Megjegyzés. A nyomtatott számban feladat szövegéből kimaradt a b>1 feltétel.)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 552. Bizonyítsuk be, hogy nemnegatív valós számok tetszőleges $a_1,a_2,\ldots$ sorozatához és $\varepsilon$ >0 számhoz végtelen sok olyan n pozitív egész létezik, amire

$n^2 \big(4a_n(1-a_{n-1})-1 \big) \le \frac14+\varepsilon.$

Schweitzer-verseny, 2011 alapján

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 553. Tegyük fel, hogy egy n pontú G egyszerű gráf fokszámainak $\delta$ (G) minimuma legalább 3n/4. Bizonyítsuk be, hogy G éleinek bármely 2-színezésében van olyan legalább $\delta$ (G)+1 pontú összefüggő részgráf, melynek minden éle ugyanolyan színű.

Schweitzer-verseny, 2011

(5 pont)

statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?