Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2012. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

K. 325. Kati egy szabályos dobókockával dobált mindaddig, amíg egy dobott érték már harmadszor jött ki. Ez a 12. dobására következett be először, és a 12 dobás során dobott számok összege 47 volt. Melyik szám jött ki háromszor a dobások során? Melyik számot dobta a legkevesebbszer?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 326. Egy belsőépítész egy nagy előadóterem mennyezetébe világítást tervezett LED-ekből (fénykibocsátó diódákból). A LED-eket koncentrikus körök mentén helyezte el. Minden körvonalon a LED-ek eloszlása egyenletes; mindegyik kör sugara kétszer akkora, mint az őt megelőző kör sugara; ha a LED-eket összekötjük a kör középpontjával, akkor két szomszédos kör közül a kisebbiken a nagyobbikhoz képest csak minden második LED pozíciójába helyeztek LED-et.

a) Mutassuk meg, hogy az egy körvonalon levő szomszédos LED-ek körvonalon mért távolsága állandó (attól is független, hogy melyik körvonalon vagyunk).

b) Mekkora ez a (körvonalon mért) távolság, ha a legnagyobb kör sugara 20 méter, a körök száma 8, és a belülről számított 4. körön 112 db LED-et találhatunk?

c) Összesen hány db LED-et használtak fel a mennyezeti világítás elkészítéséhez?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 327. Négy pozitív egész szám összege 125. Ha az elsőt 4-gyel növeljük, a másodikat 4-gyel csökkentjük, a harmadikat 4-gyel megszorozzuk, a negyediket 4-gyel osztjuk, négy egyenlő számot kapunk. Mi lehetett a négy eredeti szám?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 328. Az a^b+cd kifejezésbe helyettesítsünk a, b, c, d helyére 0, 1, 2, 3-at az összes lehetséges sorrendben. Mennyi lesz az így kapott számok összege?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 329. Tudjuk, hogy valamely pozitív x valós számra $x^2+\frac{1}{x^2}=7$ . Határozzuk meg x értékének kiszámítása nélkül $x^5+\frac{1}{x^5}$ értékét.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 330. Az ABCD négyzetbe az ábrán látható módon berajzoltuk az ABF szabályos háromszöget. Az AE hossza 2 egységnyi. Mennyi az ABCD négyzet területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

C. 1110. András elindul sétálni egy sakktáblaszerű lakótelep egyik háztömbjének sarkától. Sétája során csak az utcasarkokon vált irányt. A háztömbök négyzet alaprajzúak, az oldalaik hossza 15 m, az utak szélessége pedig elhanyagolható. Mutassuk meg, hogy ha András visszaérkezik a kiindulási helyre, akkor a megtett út méterben megadott hossza páros szám lesz.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1111. Két kocka összes élének összege osztható 72-vel. Igazoljuk, hogy ekkor a térfogatösszegük osztható 6-tal.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1112. Az ABC háromszög AB oldalán lévő P ponton át párhuzamosokat húzunk a másik két oldallal, amelyek az AC és BC oldalakat a Q és R pontokban metszik. Hol van a P pont, ha a CQPR négyszög területe maximális?

Javasolta: Holló Gábor (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1113. Az ABCD téglalap belsejében kijelöltük azt a P pontot, melyre a $PAB\sphericalangle$ , $PBC\sphericalangle$ , $PCD\sphericalangle$ és $PDA\sphericalangle$ tangensei rendre 1, 2, $\frac 13$ és $\frac 32$ . Mekkora az átlók szögének tangense?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1114. Oldjuk meg a log₂log₃x=log₃log₂x egyenletet.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

B. 4422. Egy asztalon 99 pálca van, a hosszuk 1,2,3,...,99 egység. Andrea és Béla a következő játékot játsszák: felváltva elvesznek egy-egy általuk választott pálcát; a játékot Andrea kezdi. A játéknak akkor van vége, amikor pontosan három pálca marad az asztalon. Ha a megmaradó három pálcából összeállítható egy háromszög, akkor Andrea nyer, különben Béla. Kinek van nyerő stratégiája?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4423. Szerkesszünk háromszöget, ha adottak súlyvonalainak egyenesei és egyik oldalának egy pontja.

Javasolta: Pataki János (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4424. A Bergengóc Közlekedési Vállalat buszjárat létesítését tervezi egy ,,egyenletesen sűrűn'' lakott, $\ell$ hosszú egyenes úton. Hogyan helyezzék el az n db megállóhelyet, ha azt szeretnék, hogy az út mentén lakók a lehető legkevesebbet gyalogoljanak?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4425. Oldjuk meg az

$x^{2}-8(x+3)\sqrt{x-1}+22x-7=0$

egyenletet.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4426. Az ABCD tetraéder szemközti élei merőlegesek egymásra, BCD lapja pedig hegyesszögű háromszög. A tetraéder A csúcsból induló magasságának talppontja T. Adjuk meg a tetraéder felszínén haladó legrövidebb AT töröttvonalat.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4427. Mutassuk meg, hogy ha $\alpha$ , $\beta$ és $\gamma$ egy háromszög szögei, akkor

(sin $\alpha$ +sin $\beta$ +sin $\gamma$ )²>9sin $\alpha$ sin $\beta$ sin $\gamma$ .

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4428. Egy egységsugarú körbe háromszöget írtunk. Mekkora lehet két hozzáírt köre középpontjának távolsága?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4429. Két háromszög, A₁B₁C₁ és A₂B₂C₂ úgy helyezkedik el, hogy A₁B₁ és A₂B₂, B₁C₁ és B₂C₂, valamint A₁C₁ és A₂C₂ oldalaik párhuzamosak. Kössük össze az A₁ csúcsot a B₂ és C₂ csúcsokkal, majd a B₁ csúcsot a C₂ és A₂ csúcsokkal, végül a C₁ csúcsot az A₂ és B₂ csúcsokkal. Mekkora lehet az így keletkezett összekötő szakaszok felezőpontjai által meghatározott hatszög területe, ha az eredeti háromszögek területe T₁ és T₂?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4430. Fej vagy írás játékot játszunk a következő módon. Mindegyik dobás előtt megteszünk egy tétet, ami legfeljebb akkora, amennyi pénzünk van, majd megtippeljük a dobás eredményét. Ha eltaláljuk, akkor visszakapjuk a tét kétszeresét, ha nem, akkor a tétet elveszítjük. Határozzuk meg azokat a k>1 értékeket, amelyekhez van olyan n egész szám és olyan stratégia, hogy legfeljebb n kört játszva legalább $\frac{1}{k}$ valószínűséggel megszerezzük kezdeti pénzünk k-szorosát.

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4431. Vannak-e olyan n és k pozitív egészek, amelyekre

$\big(5+3\sqrt{2}\,\big)^{n}= \big(3+5\sqrt{2}\,\big)^{k}?$

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. március 12-én LEJÁRT.

A. 554. Az ABCD húrnégyszög köré írt kör középpontja O. Az ABO és CDO körök O-tól különböző metszéspontja a P pont, ami a DAO háromszög belsejébe esik. Válasszuk ki az OP szakasz P-n túli meghosszabbításán a Q, az OP szakasz O-n túli meghosszabbításán pedig az R pontot. Bizonyítsuk be, hogy QAP $\angle$ =OBR $\angle$ akkor és csak akkor teljesül, ha PDQ $\angle$ =RCO $\angle$ .

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 555. Egy n×n×n-es kockarács pontjait kiszíneztük n színnel úgy, hogy mindegyik színt pontosan n²-szer használtuk fel. Igazoljuk, hogy van olyan rácsegyenes, ami párhuzamos a kocka valamelyik élével, és a rácsnak legalább $\root3\of{n}$ különböző színű pontján átmegy.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 556. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges $a_1,\ldots,a_n$ valós számokhoz van olyan t valós szám, amire

$\sum_{i=1}^n \big|\sin(t-a_i)\big| \le \ctg\frac\pi{2n}.$

(Lásd a Kürschák-verseny 3. feladatát számunk 70 oldalán)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)