A KöMaL 2012. áprilisi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

C. 1120. Ábrázoljuk azokat a P(x;y) pontokat, amelyeknek koordinátáira: |y| $\le$ 1-x és |x| $\le$ 3-y.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1121. Bizonyítsuk be, hogy ha n természetes szám, akkor a

$\frac{3^{2n}}{112}-\frac{4^{2n}}{63}+\frac{5^{2n}}{144}$

összeg értéke egész szám.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1122. Az ABC háromszög BAC szögének felezője a BC oldalt A₁-ben metszi. Az ABC, ABA₁, ACA₁ háromszögek köré írt körök középpontjai legyenek rendre O, O₁, O₂. Bizonyítsuk be, hogy az OO₁O₂ háromszög egyenlő szárú.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1123. Kockacukrokból egy 4×4×4-es kockát építünk. A kockacukrok hány különböző téglatestet határoznak meg, ha a téglatestek legalább egy kockacukorban különböznek?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1124. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

$x^{x+y} & = y^3,$

$y^{x+y} & = x^{12}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

B. 4442. Anna, Béla és Cecília a következő játékot játssza. Felváltva mondanak egy egész számot 1 és 10 között, és a mondott számot a már addig elhangzott számok összegéhez adják (egyszerűség kedvéért mindig az összeget mondja be a soronkövetkező játékos). Az nyer, aki először mond 100-at. Bizonyítsuk be, hogy a két lány együtt ki tud alakítani olyan stratégiát, amellyel kettőjük közül biztosan valamelyikük nyer.

Javasolta: Futó Béla (New York)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4443. Adott két sorozat, az elemeik pozitív egészek: a₁,a₂,...,a_n és b₁,b₂,...,b_k, továbbá a_i $\le$ k és b_j $\le$ n. Mutassuk meg, hogy léteznek olyan 0 $\le$ i₁<i₂ $\le$ n és 0 $\le$ j₁<j₂ $\le$ k egészek, amelyekre

$a_{i_1+1}+\ldots +a_{i_2}=b_{j_1+1}+\ldots +b_{j_2}.$

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4444. Az ABCD négyzet D csúcsát A körül, a (D-vel szemközti) B csúcsát pedig C körül $\alpha$ hegyesszöggel kifelé forgattuk, s így rendre az E, illetve G pontokat kaptuk. Az AE és BG egyenesek metszéspontja F. A GD egyenes a GCB kört, illetve a BDE kört másodszor rendre az L, illetve M pontban metszi. Bizonyítsuk be, hogy az A, B, F, L, M pontok egy körön vannak.

Javasolta: Bodnár János

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4445. Egy konvex testnek hat darab négyzet- és nyolc darab szabályos hatszöglapja van. Tudjuk, hogy a négyzetlapok közül semelyik kettőnek nincs közös csúcsa. Határozzuk meg a test térfogatát, ha tudjuk, hogy van egységnyi hosszú éle.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4446. Egy n×n-es négyzetrácsban hány négyzetet jelölnek ki a rácspontok?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4447. Oldjuk meg a $\sqrt{x-3} + \sqrt{x^2-4x+3} = \sqrt{{(x-2)}^3}$ egyenletet.

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4448. Az ABC háromszög AC oldalához tartozó hozzáírt köre a BC, AC és AB oldalegyeneseket rendre az A₁, B₁ és C₁ pontokban érinti. Legyen F az A₁B₁ szakasz felezőpontja. Igazoljuk, hogy $B_1C_1C \sphericalangle = A_1C_1F \sphericalangle$ .

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4449. Hány nullára végződik a 4^5⁶+6^5⁴ tízes számrendszerbeli alakja?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4450. Adottak az e egyenesen ebben a sorrendben az egymástól különböző A, B és C pontok. Mi azon P pontok mértani helye, amelyekre az ACP háromszög beírt köre az e egyenest B-ben érinti?

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4451. Adott egy n-csúcsú konvex sokszög, melynek semelyik négy csúcsa nem esik egy körre. A csúcsokból kiválasztható ponthármasokra megrajzoljuk a rájuk illeszkedő kört. Egy ilyen kör sovány, ha a sokszög csúcsai (kivéve a háromszög csúcsait) a körön kívül fekszenek, illetve kövér, ha a sokszög összes csúcsa a zárt körlemezre esik. A kövér vagy a sovány körökből van-e több?

Javasolta: Róka Sándor (Nyíregyháza)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2012. május 10-én LEJÁRT.

A. 560. Adott egy egyenes körkúp, a csúcsa O, továbbá a kúp alaplapjának síkjában egy rögzített P pont. Húzzunk P-n keresztül egy x egyenest, ami a kúp alapkörét az X₁ és X₂ pontokban metszi. Igazoljuk, hogy

$\mathop{\rm tg}\frac{POX_1\sphericalangle}2 \cdot \mathop{\rm tg}\frac{POX_2\sphericalangle}2$

nem függ az x egyenes megválasztásától.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 561. Mutassuk meg, hogy

$\frac{a^3b}{{(3a+b)}^p} + \frac{b^3c}{{(3b+c)}^p} +\frac{c^3a}{{(3c+a)}^p} \ge \frac{a^2bc}{{(2a+b+c)}^p}+ \frac{b^2ca}{{(2b+c+a)}^p} + \frac{c^2ab}{{(2c+a+b)}^p}$

teljesül tetszőleges a, b, c, p pozitív számok esetén.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 562. Bármely k pozitív egészre legyen f(k)=2^k+1. Létezik-e olyan pozitív egész n, amire f(f(n)) osztható n-nel, de f(f(f(n))) nem osztható n-nel?

(5 pont)

statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?