A KöMaL 2014. februári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.

Feladat típusok elrejtése/megmutatása:

K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

K. 409. Hányféle olyan négyszög van, amelyet egyik átlója két egyenlő szárú derékszögű háromszögre vág szét?

(6 pont)

K. 410. Egy szabályos háromszögrácsra a rácsvonalak mentén szabályos háromszöget rajzoltunk. A háromszög belsejében 5995 rácspont van. Hány rácsponton haladt keresztül a ceruzánk a háromszög megrajzolásakor?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 411. Az x⁵ hatványt kiszámolhatjuk, nemcsak úgy, hogy x^.x^.x^.x^.x, amihez 4 szorzás kell, hanem ennél kevesebb szorzással is, ha a részeredményeket is felhasználhatjuk (pl.: y=x^.x), majd a végeredményt y^.y^.x műveletekkel kapjuk, ami összesen csak 3 szorzás. Írjuk fel az x²³ hatványt kevesebb, mint 10 szorzással.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 412. Egy $\sqrt{2}$ sugarú kör középpontja egy egységsugarú kör kerületén helyezkedik el. A két körvonal így négy részre osztja a síkot, közöttük egy kisebb és egy nagyobb hold alakú síkidomot találunk. Mekkora a kisebbik hold alakú síkidom területe?

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 413. Adjuk meg az a és b számjegyeket úgy, hogy a következő egyenlőség igaz legyen:

$\frac{a}{b} +\frac{\;\overline{ba}\;}{\overline{ab}} =2,$

ahol $\overline{ab}$ és $\overline{ba}$ kétjegyű számokat jelöl.

(6 pont)

megoldás, statisztika

K. 414. Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Két versenyző lemondta a részvételét, ezért a tervezettnél 17-tel kevesebb mérkőzésre kerül sor. Hány résztvevő lesz a lemondás után?

(6 pont)

megoldás, statisztika

C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

C. 1210. Négy zsákban liszt van. Határozzuk meg, melyik zsák a legnehezebb, ha három mérés után a következőt állíthatjuk: az első zsák a másodikkal együtt kisebb, a harmadikkal együtt ugyanannyi és a negyedikkel együtt nagyobb tömegű, mint a másik két zsák.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1211. Az ABCD konvex négyszögben a D csúcsra illeszkedő, BC egyenessel párhuzamos egyenes az AB oldalt az oldal F felezőpontjában metszi. Mekkora az AFCD négyszög területe, ha az ABD háromszög területe 4?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1212. Igazoljuk, hogy $(2+3+5) \mid \big(2 \cdot 2^{5^3} + 3^{2^5} - 5^{3^2}\big)$ .

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1213. Adott téglalapba szerkesszünk egy feleakkora területű téglalapot, amelyet a két téglalap közötti síkrész egyenlő szélességű keretbe foglal.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1214. Egy 30 fős osztályból két tanuló hiányzik. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a hiányzók szomszédosak a névsorban? Mekkora lenne az osztály létszáma, ha ez a valószínűség 0,1?

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1215. Bizonyítsuk be, hogy ha egy derékszögű háromszögbe írható kör egységnyi sugarú, és az egyik befogó mérőszáma racionális, akkor a másik két oldalé is az.

(5 pont)

megoldás, statisztika

C. 1216. Az elkészült ideális farsangi fánk 54 gramm, melynek 8%-a a sütéskor beszívott olaj, és alakja egy 78 mm átmérőjű, 3 cm magasságú, azonos méretű alsó- és felső fedőlapú (vagyis középpontosan szimmetrikus) gömböv. A fánk tésztája sütés közben a kétszeresére dagad és tömege csak az olaj tömegével nő. Lefedhető-e egy lapos fedővel a 2,5 l-es keverőtálba tett sütés előtt álló 1 kg-nyi tészta?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

B. 4602. Egy húrtrapéz átlói merőlegesek egymásra. Bizonyítsuk be, hogy a trapéz köré írható kör középpontjának az egyik alaptól mért távolsága egyenlő az átlók metszéspontjának a másik alaptól mért távolságával.

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4603. Egy egyenes körkúp felszíne A, térfogata V. Igazoljuk, hogy A³ $\ge$ 72 $\pi$ ^.V².

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4604. Oldjuk meg az

$x^{3}+\left(\frac{x}{2x-1}\right)^{3}=\frac{243}{64}$

egyenletet.

Javasolta: Kovács Béla (Szatmárnémeti)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4605. Tegyük fel, hogy $\alpha$ és $\beta$ olyan, egymástól különböző valós számok, amelyek közül legalább az egyik nem egész. Igaz-e, hogy biztosan létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre $\alpha$ ⁿ- $\beta$ ⁿ nem egész?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4606. Oldjuk meg a pozitív számok körében az

$\frac{x\cdot 2014^{\frac{1}{x}}+\frac{1}{x}\cdot 2014^x}2 =2014$

egyenletet.

(Matlap, Kolozsvár)

(3 pont)

megoldás, statisztika

B. 4607. Az a, b, c oldalú háromszög beírt körének középpontján átmenő egyenes a c oldalt P-ben, a b oldalt pedig Q-ban metszi. Legyen AP=p és AQ=q. Bizonyítsuk be, hogy

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{a+b+c}{bc}.$

Kacsó Ferenc (Matlap, Kolozsvár)

(5 pont)

megoldás, statisztika

B. 4608. Az ABC háromszög S súlypontjának a háromszög BC, AC és AB oldalaira eső merőleges vetületei A₁, B₁ és C₁. Igazoljuk, hogy (a szokásos jelölésekkel)

$a^2 \overrightarrow{SA_1} +b^2 \overrightarrow{SB_1}+c^2 \overrightarrow{SC_1} =\mathbf{0}.$

(4 pont)

megoldás, statisztika

B. 4609. Melyik az a legkisebb pozitív c szám, amelyre igaz, hogy tetszőleges $a_1,a_2,\ldots,a_n$ valós számok közül kiválasztható néhány, amelyek összegének a hozzá legközelebbi egésztől vett távolsága legfeljebb c?

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4610. Legyen az ABC hegyesszögű háromszög köré írt körének középpontja K, beírt körének középpontja O, magasságpontja pedig M. Lehetnek-e az O, K és M pontok egy egyenlő szárú háromszög csúcsai?

(Kvant)

(6 pont)

megoldás, statisztika

B. 4611. Tükrözzünk a térben valamilyen sorrendben egy kocka mind a hat lapjának a síkjára. A hat tükrözés egymásutánja hány különböző transzformációt eredményez?

(6 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2014. március 10-én LEJÁRT.

A. 608. Tegyük fel, hogy az egy síkban fekvő $\displaystyle P_1$, $\displaystyle P_2$ és $\displaystyle P_3$ konvex sokszöglemezek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy bárhogyan is választjuk az $\displaystyle A\in P_1$, $\displaystyle B\in P_2$ és $\displaystyle C\in P_3$ pontokat, az $\displaystyle ABC$ háromszög területe legfeljebb egységnyi. Bizonyítsuk be, hogy a $\displaystyle P_1$, $\displaystyle P_2$ és $\displaystyle P_3$ sokszöglemezek között van két különböző, amelyek területének összege nem több $\displaystyle 8$ egységnél.

Javasolta: Fleiner Tamás (Budapest)

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 609. Legyenek $\displaystyle a_1,a_2,\dots,a_n$ és $\displaystyle b_1,b_2,\dots,b_n$ olyan komplex számok, amelyekre $\displaystyle \mathop{\rm Im} a_j\ge 1$ és $\displaystyle \mathop{\rm Im} b_j\le -1$ ($\displaystyle j=1,2,\dots,n$), és legyen

$\displaystyle f(z) = \frac{(z-a_1)(z-a_2)\ldots (z-a_n)}{(z-b_1)(z-b_2)\ldots (z-b_n)}. $

Igazoljuk, hogy az $\displaystyle f'(z)$ függvénynek nincs gyöke az $\displaystyle |\mathop{\rm Im}z|<1$ halmazon.

(5 pont)

megoldás, statisztika

A. 610. Adott egy $\displaystyle p$ prímszám és két pozitív egész, $\displaystyle k$ és $\displaystyle n$. Határozzuk meg azt a legkisebb $\displaystyle d$ nemnegatív egész számot, amihez létezik olyan $\displaystyle n$-változós, $\displaystyle d$-edfokú, egész együtthatós $\displaystyle f(x_1,\dots,x_n)$ polinom, amelyre a következő tulajdonság teljesül: tetszőleges $\displaystyle a_1,\dots,a_n\in\{0,1\}$ esetén $\displaystyle f(a_1,\dots,a_n)$ akkor és csak akkor osztható $\displaystyle p$-vel, ha $\displaystyle a_1+\ldots+a_n$ osztható $\displaystyle p^k$-nal.

(5 pont)

statisztika

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?