Szerk
G. 891. Egy dominó alakú hasábot készítünk valamilyen gyengén vezető anyagból. A méretek: \(\displaystyle 0{,}5~\mathrm{cm}\times 3~\mathrm{cm}\times 6~\mathrm{cm}\). Megmérjük a dominó elektromos ellenállását úgy, hogy az egymással szemben lévő oldalai között folyjon az áram. A csatlakozásokat úgy alakítjuk ki, hogy a dominókban az áramsűrűség homogén legyen. A feszültségeket úgy választjuk meg, hogy az áramsűrűség nagysága mindhárom esetben megegyezzen.
a) Hogy aránylik egymáshoz a három mért ellenállás?
b) Hogy aránylik egymáshoz az alkalmazott három feszültség?
c) Hogy aránylik egymáshoz a három esetben a másodpercenként felszabaduló Joule-hő?
(4 pont)
Megoldás. A dominó méretei: \(\displaystyle a=0{,}5~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle b=3~\mathrm{cm}\), \(\displaystyle c=6~\mathrm{cm}\).
a) Az ellenállás a dominó méreteinek és fajlagos ellenállásának függvényében:
\(\displaystyle R=\varrho\frac{\ell}{A}, \)
ahol \(\displaystyle \varrho\) a fajlagos ellenállás, \(\displaystyle \ell\) az áram irányával párhuzamos méret és \(\displaystyle A\) az erre merőleges keresztmetszet. A három különböző esetben az ellenállás – rendre a legkisebb, a közepes és a legnagyobb területű lapok közt mérve:
Az ellenállások aránya:
\(\displaystyle R_1:R_2:R_3=4:1:\tfrac{1}{36}=144:36:1. \)
b) Az áramsűrűség az áramerősség és a keresztmetszet hányadosa:
\(\displaystyle j=\frac{I}{A}, \)
amely a feladat szövege szerint mindhárom esetben ugyanakkora. A dominókra kapcsolt feszültség az Ohm-törvény alapján:
\(\displaystyle U=RI=RjA=\varrho\frac{\ell}{A}\cdot jA=\varrho j\ell. \)
A három különböző esetben a dominóra kapcsolt feszültség – ismét rendre a legkisebb, a közepes és a legnagyobb területű lapok közt mérve:
A feszültségek aránya:
\(\displaystyle U_1:U_2:U_3=6:3:\tfrac{1}{2}=12:6:1. \)
c) A felszabaduló Joule-hő:
\(\displaystyle P=\frac{U^2}{R}=\frac{(\varrho j\ell)^2}{\varrho\frac{\ell}{A}}=\varrho j^2\ell A=\varrho j^2V, \)
ahol \(\displaystyle V=\ell A\) a dominó térfogata. Tehát a teljesítmény független attól, hogy melyik lappár között mérünk:
\(\displaystyle P_1:P_2:P_3=1:1:1. \)
Megjegyzés. Az a) és b) részek eredményeiből is ugyanerre jutunk, hiszen
és így a teljesítmények aránya ugyanúgy:
\(\displaystyle P_1:P_2:P_3=9:9:9=1:1:1. \)
Szighardt Anna (Révkomárom, Selye János Gimn., 9. évf.)
23 dolgozat érkezett. Helyes 16 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 2, hiányos (1–2 pont) 5 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
M. 449. Készítsünk torziós ingát egy befőttesüvegből úgy, hogy az üveget függőleges helyzetében két párhuzamos cérnával felfüggesztjük. (A cérnaszálak hossza legyen 1 méter, távolságuk pedig egyezzen meg az üveg szájának átmérőjével. A csavaros tető segítségével rögzíthetőek.)
Mérjük meg a torziós inga lengésidejét az üvegbe töltött kristálycukor mennyiségének függvényében!
(6 pont)
Közli: Szabó Endre, Vágfüzes (Szlovákia)
P. 5711. Öt egyforma \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor és egy \(\displaystyle U\) belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.
a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?
b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra cseréljük?
Közli: Németh Róbert, Budapest
