Szerk
G. 925. Kerékpárral hosszú lejtőn gurulunk le, amelynek végén meg szeretnénk állni. Mikor és miért kopik kevésbé a kerékpár fékbetétje, ha jó nagy sebességre gyorsulunk, és a lejtő végén erősen fékezünk, vagy ha végig fékezünk, és nem engedjük száguldani a járművet? (Tételezzük fel, hogy blokkolás nélkül fékezünk, és a fék kopása a sebességtől függetlenül egyenesen arányos a súrlódási munkával.)
(4 pont)
Megoldás. A feladat szerint egy \(\displaystyle h\) magasságú lejtőn nyugalomból indulva gurulunk le, és a lejtő alján meg akarunk állni, tehát a mozgási energiánk a mozgás elején és végén is nulla. Nézzük az energiamérleget! A mozgási energia megváltozása nulla, tehát a teljes \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia valamilyen módon ,,elhasználódik'', vagyis súrlódási és közegellenállási munkává alakul. A disszipáció három helyen történhet: a fékbetét súrlódási munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), a közegellenállás (légellenállás) munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) és a gördülési ellenállás munkája (\(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\)). A munkatétel szerint:
\(\displaystyle mgh=W_{\mathrm{f}}+W_{\mathrm{k}}+W_{\mathrm{g}}. \)
A fékbetét kopása a feladat szerint egyenesen arányos a fék súrlódási munkájával (\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\)), ezért azt kell megnéznünk, melyik esetben kisebb ez a munka. Átrendezve:
\(\displaystyle W_{\mathrm{f}}=mgh-W_{\mathrm{k}}-W_{\mathrm{g}}. \)
Az \(\displaystyle mgh\) helyzeti energia mindkét esetben ugyanakkora, hiszen ugyanazon a lejtőn, ugyanarról a magasságról indulunk. A gördülési ellenállás jó közelítéssel nem függ a sebességtől, csak az úthossztól, ezért a \(\displaystyle W_{\mathrm{g}}\) is azonos a két esetben, hiszen ugyanazt az utat tesszük meg. A különbség tehát a légellenállás munkájában (\(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\)) van.
A légellenállás ereje a sebességgel nő, a biciklizés sebességtartományában a sebesség négyzetével arányosan, így minél gyorsabban haladunk, annál több munkát végez a közegellenállás. Ott, ahol nagy sebességre gyorsulunk, a légellenállás adott útszakaszon sokkal több energiát emészt fel, vagyis \(\displaystyle W_{\mathrm{k}}\) nagy lesz. Ezért a féken kevesebb energia disszipálódik, \(\displaystyle W_{\mathrm{f}}\) kisebb lesz, és így a fékbetét kevésbé kopik. Ha viszont végig lassan megyünk, a légellenállás sokkal kisebb lesz, alig fordítódik erre energia, így majdnem az egész \(\displaystyle mgh\) energiát a féknek kell ,,elnyelnie'', és a fékbetét jobban kopik.
A fékbetét tehát akkor kopik kevésbé, ha nagy sebességre gyorsulunk, és csak a lejtő végén fékezünk erősen.
Zsilák Márk Péter (Szolnok, Verseghy Ferenc Gimn., 10. évf.)
27 dolgozat érkezett. Helyes 15 megoldás. Kicsit hiányos (3 pont) 1, hiányos (1 pont) 9, hibás 2 dolgozat.
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
P. 5711. Öt egyforma \(\displaystyle C\) kapacitású kondenzátor és egy \(\displaystyle U\) belső feszültségű ideális telep felhasználásával az ábrán látható egyszerű áramkört hozzuk létre.
a) Mekkora töltés halmozódik fel a középső kondenzátor fegyverzetein?
b) Hogyan változik ez az érték, ha az egyik kondenzátort \(\displaystyle nC\) kapacitású kondenzátorra cseréljük?
Közli: Németh Róbert, Budapest
