Szilassi Lajos
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok. Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
Rovatunkban minden hónapban valamilyen szórakoztató matematikai fejtörőt mutatunk be. Ezek között fontos helyet foglalnak el a különböző kirakós játékok, topológiai feladványok, ördöglakatok és a matematikát felhasználó bűvészmutatványok.
Manapság szinte mindent meg lehet találni az interneten, de az igazi élményt az adja, ha a feladatokat magunk oldjuk meg, a bűvészmutatványok trükkjeit mi találjuk ki, és a szükséges kellékeket is mi tervezzük meg és készítjük el. Próbáljuk meg a feladatokat továbbgondolni, általánosítani, igyekezzünk új feladatokat kitalálni.
A 2026. februári KöMaLban mutattuk be Tom O'Beirne Olvasztótégely néven ismert játékát, amelynek leírása Puzzles and Paradoxes című ([1]) könyvében található. Ugyaninnen származik a következő, igen szellemes konstrukció is. O'Beirne megadott hat olyan, egységkockákból is kirakható testet, amelyek közül kettő-kettő egymással tükörszimmetrikus. (Testekről lévén szó, a ,,tükör'' természetesen egy sík.) Az elemeket úgy is elkészíthetjük, hogy veszünk négy-négy darab \(\displaystyle {4 \times 6 \times 6}\), \(\displaystyle {3 \times 4 \times 12}\) és \(\displaystyle {3 \times 6 \times 8}\) méretű téglatestet, és ezek közül kettőt-kettőt az ábra szerint összeragasztunk:
A feladat az, hogy ezekből az elemekből rakjunk össze egy \(\displaystyle 12\) élhosszúságú kockát, majd rendre \(\displaystyle 8\times 12 \times 18\), \(\displaystyle 8\times 9 \times 24\), \(\displaystyle 12\times 6 \times 24\), \(\displaystyle 16\times 6 \times 18\) és végül \(\displaystyle {16\times 9 \times 12}\) méretű téglatesteket is.
A kocka összeállítása nem túl nehéz. Ezután az alapötletünk az, hogy egy \(\displaystyle 2a\times 3b\) méretű téglalapot egy \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) adatokkal adott ,,egylépcsős'' vágással át tudunk rendezni \(\displaystyle 3a\times 2b\) téglalappá. Hasonlóan, egy \(\displaystyle 3c\times 4d\) állapot egy ,,kétlépcsős'' vágással \(\displaystyle 4c \times 3d\) állapotba alakítható.
A helyesen összeállított kocka látványos lépéseken keresztül végigjárja mind az öt téglatest állapotot, miközben felváltva alkalmazunk egylépcsős és kétlépcsős vágásokat, s végül visszajutunk a kocka állapotba. Az alakváltás lépései az alábbi ábrasorozat alapján végigkövethetők.
Bár a hat különböző téglatest összerakása tekinthető rejtvénynek, mégis O'Beirne kockájának varázsa inkább az alakváltó lépések szépségében rejlik, semmint feladvány-jellegében. Éppen ezért feltétlenül érdemes elkészíteni, kézbe venni és a lépéseket a valóságban is kipróbálni. (Ez természetesen minden bemutatott játékunkra igaz, de erre talán fokozottan.) Ezt megkönnyítendő, a játék 3d-nyomtatható tervei megtalálhatók a cikk végén.
Formabontó módon egy elméleti feladattal zárjuk írásunkat. A [2] feladatgyűjtemény 92. számú példája a következő: ,,Egy derékszögű paralelepipedon [vagyis egy téglatest – a szerk.] oldalai [értsd: egy csúcsból induló élei – a szerk.] közötti arány \(\displaystyle 8:8:27\). Daraboljuk fel a paralelepipedont négy részre úgy, hogy a részekből egy kockát lehessen összerakni!''
A feladathoz tartozik egy Útbaigazítás is: ,,Először daraboljuk fel a paralelepipedont két részre, és ezekből rakjunk össze egy olyan paralelepipedont, amelynek oldalai közötti arány \(\displaystyle 8:12:18\).'' Ezt már csak annyival egészítjük ki, hogy használjuk az O'Beirne-féle kockánál tanultakat is.
Jó szórakozást!
[1] O'Beirne: Puzzles and Paradoxes, Oxford University Press, 1965.
[2] Skljarszkij, D. O. – Csencov, N. N. – Jaglom, I. M.: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből 3. – Geometria II. (Sztereometria); Tankönyvkiadó, 1968.
Mellékeljük a játék 3d nyomtatóval kinyomtatható modelljét. A modellt BambuLab A1 mini és BambuLab P1S nyomtatókon teszteltük.
OBeirne-AlakvaltoKockak.3mf (3MB)
O'Beirne féle Olvasztótégely játék kinyomtatható modelljét INNEN lehet letölteni.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
Ha egy négyzetet a két átlójával felosztunk négy háromszögre, majd ezeket kiszínezzük három színnel az összes lehetséges módon, akkor megkapjuk a négyzetes színdominókat.
A színdominókat először a múlt század elején írta le Percy Alexander MacMahon, a kalandos életű matematikus. Ő rögtön megadott több nehéz feladatot is hozzájuk.
A Hanoi tornyai egy olyan feladvány, amelyben három függőleges pálcán van \(\displaystyle n\) db, különböző külső átmérőjű lyukas korong [2]. A hagyományos kiindulási állapotban a bal szélső pálcán van az összes korong, fentről lefelé növekvő méretben, a célállapot pedig ugyanez a korongpiramis, csak a jobb szélső pálcán. Két egyszerű szabályt kell betartani: minden lépésben valamelyik pálca legfelső korongját tehetjük egy másik pálca tetejére, továbbá semelyik korongot sem szabad nála kisebb korongra tenni. Igazolható, hogy a szükséges lépésszám \(\displaystyle 2^n - 1\), azaz minden egyes korong hozzáadásával lényegében megduplázódik.
