Szerk
P. 5640. A Kanári-szigetek legnagyobb városában, Las Palmasban található egy Európában egyedülálló kiállítás, amely a Föld vizeinek élővilágát mutatja be. A kiállítás egyik attrakciója egy \(\displaystyle 400\) köbméteres, függőleges, henger alakú tengeri akvárium, melynek karbantartását búvárok végzik. Vízszintesen körbenézve az akvárium falának hányad részén lát ki az a búvár, aki az \(\displaystyle R\) sugarú henger szimmetriatengelyétől \(\displaystyle d\) távolságra van? A tengervíz törésmutatója \(\displaystyle n\).
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
Megoldás. A fénysugarak útja megfordítható, így a búvár abba az irányba lát ki, amerre egy fénysugár ki tud lépni az akváriumból. Ennek az a feltétele, hogy az akvárium falánál a fénysugár beesési szöge ne legyen nagyobb a teljes visszaverődés \(\displaystyle \alpha=\arcsin\tfrac{1}{n}\) határszögénél. Az akváriumot felülnézetben mutató ábrán ez a pirossal jelölt \(\displaystyle P_1'P_1\) és \(\displaystyle P_2'P_2\) íveken teljesül.
A keresett arány az ívekhez tartozó középponti szögek összegének és a teljes szögnek a hányadosa:
\(\displaystyle \eta=\frac{2(\beta+\delta)}{2\pi}=\frac{\beta+\delta}{\pi}. \)
A \(\displaystyle \delta\) szög az \(\displaystyle OBP_2\) háromszög külső szöge, így
\(\displaystyle \delta=\alpha+\gamma. \)
A szinusztételt az \(\displaystyle OBP_1\) és \(\displaystyle OBP_2\) háromszögekre is felírva:
\(\displaystyle \frac{R}{d}=\frac{\sin(\gamma+\varepsilon)}{\sin\alpha}=\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}, \)
amiből egyrészt
\(\displaystyle \gamma=\pi-(\gamma+\varepsilon)=\alpha+\beta, \)
másrészt
\(\displaystyle \sin\gamma=\frac{R}{d}\sin\alpha=\frac{R}{nd}. \)
Mindezek alapján a keresett arány:
\(\displaystyle \eta=\frac{\beta+\delta}{\pi}=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{\pi}=\frac{2\gamma}{\pi}=\frac{2}{\pi}\arcsin\frac{R}{nd}. \)
A kifejezés csak \(\displaystyle d\geq\tfrac{R}{n}\) értékeknél értelmezhető. Ha \(\displaystyle d<\tfrac{R}{n}\), akkor \(\displaystyle \eta=1\), azaz a búvár minden irányba kilát az akváriumból.
Fekete Lúcia (Budapest V. Ker. Eötvös J. Gimn., 12. évf.)
9 dolgozat érkezett. Helyes 3 megoldás. Kicsit hiányos (3–4 pont) 2, hiányos (2 pont) 2, nem versenyszerű 2 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
