Szerk
P. 5717. Dido legendájának egy másik változata szerint a hercegnő hajójával Észak-Afrika egyik egyenesnek tekinthető partvonalán kötött ki. A helyi uralkodótól annyi földet kért, amennyit a 4 km hosszúságú kerítésével le tudott választani. A kerítés kialakításánál azt is figyelembe vette, hogy a parthoz 1 km-nél közelebb az egységnyi nagyságú földterület ára kétszer akkora, mint ennél távolabb. Mekkora és milyen alakú területet különített el magának Dido, ha célja a lehető legértékesebb terület megszerzése volt?
(Lásd a P. 5700. feladatot lapunk 2026. januári számában.)
(5 pont)
Közli: Vigh Máté, Herceghalom
Megoldás. Végezzük el a következő gondolatkísérletet: 4 egység hosszúságú fonalat helyezünk egy olyan folyadékhártyába, amelynek felületi feszültsége egy \(\displaystyle h\) határvonal két oldalán különböző (\(\displaystyle \sigma\) és \(\displaystyle 2\sigma\), lásd az ábrát). A fonal \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) végei szabadon elmozdulhatnak a \(\displaystyle p\) peremen, amely 1 egység távolságra van a \(\displaystyle h\) határvonaltól. Ezután kilyukasztjuk a fonál és a \(\displaystyle p\) egyenes által körbevett részt. A megmaradó folyadékhártya összenergiája minimális lesz, amely épp azt jelenti, hogy a körbehatárolt terület értéke (árral súlyozott összterülete) maximális.
A gondolatkísérlet alapján a következő megállapításokat tehetjük.
– Egyensúlyban az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle D\) pontokban a fonál merőleges a \(\displaystyle p\) egyenesre, mert különben elmozdulna.
– A fonál egyes darabjai körívek, mert a felületi feszültségből származó erő mindenhol merőleges a fonálra (a fonálban ható erő nagysága állandó), és az egyes tartományokon belül az egységnyi hosszra ható erő állandó.
– A \(\displaystyle BC\) körív sugara kétszer akkora, mint az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle CD\) körívek sugara, hiszen ott fele akkora a felületi feszültség (az egységnyi hosszra ható erő).
– A \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle C\) pontokban a fonálnak törésmentesnek kell lennie, mert nincsen olyan erő, amely ki tudná egyenlíteni a két megtört fonáldarabban ébredő erők eredőjét.
Ezeket figyelembe véve az ábra alapján:
Rendezve \(\displaystyle \alpha\)-ra a következő transzcendens egyenletet kapjuk:
\(\displaystyle 2\sin\alpha=\pi-\alpha, \)
amelyet numerikusan megoldva:
\(\displaystyle \alpha\approx 1{,}246\approx 71{,}4^\circ. \)
Ebből
\(\displaystyle R\approx 1{,}055~\mathrm{km} \)
és a keresett terület nagysága:
Kossár Benedek Balázs (Pécsi Leőwey Klára Gimn., 10. évf.)
4 dolgozat érkezett. Helyes 1 megoldás. Hiányos (1–3 pont) 3 dolgozat.
A KöMaL kiadásának, a versenyek teljes lebonyolításának, díjazásának és a díjkiosztóval egybekötött Ifjúsági Ankétok szervezésének költségeit 2007 óta a MATFUND Középiskolai Matematikai és Fizikai Alapítvány fizeti.
Kérjük, személyi jövedelemadója 1%-ának felajánlásával álljon a több, mint 125 éve alapított Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok mellé!
Program
Időpont: 2026. október 29-30.
Helyszín: Bornemisza Péter Gimnázium (1107 Budapest, Száva u. 1.)
Regisztráció: diákoknak (gmail-es címmel) és felnőtteknek és nem gmail-es címmel diákoknak
Program a teljes cikkben.
G. 921. Gyerekek egy \(\displaystyle 10^\circ\)-os hajlásszögű hegyoldalon szánkóznak. A hegy alján a lejtő vízszintes felületben folytatódik. A jeges hóréteg mindenütt egyforma, így a súrlódási együttható értéke a lejtőn és a vízszintes felületen megegyezik. A szánkó kezdősebesség nélkül indul el a lejtő tetejéről, majd a lejtő aljára érve tovább csúszik a vízszintes szakaszon, ahol végül megáll. A szánkó harmad annyi idő alatt csúszott le a lejtőn, mint amennyi ideig mozgott a vízszintes szakaszon.
a) Hányszor hosszabb utat tett meg a szánkó a vízszintes szakaszon, mint a lejtőn?
b) Határozzuk meg a csúszási súrlódási együttható értékét!
c) A lecsúszás után az egyik gyerek visszahúzza a kiindulási pontra a szánkót. Hányszor több munkát végez a lejtőn, mint a vízszintes részen történő húzás közben? (A gyerek mindig a talajjal párhuzamos erőt fejt ki, és egyenletesen mozog.)
Tarján Imre fizikaverseny, Szolnok
P. 5715. Egy \(\displaystyle \ell\) hosszúságú fonálinga nehezéke nyugalmi állapotban majdnem a vízszintes talajig ér. Az ingát vízszintes helyzetéig kitérítjük, majd elengedjük. Amikor az inga fonala valamekkora \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a függőlegessel, a fonalat hirtelen elégetjük. Mekkora \(\displaystyle \alpha\) szög esetén repül a nehezék az egyensúlyi helyzetétől legmesszebbre, és mekkora ez a távolság? (A légellenállást hanyagoljuk el.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
