A KöMaL 2006. májusi matematika feladatai
Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.
Feladat típusok elrejtése/megmutatása:
 |
C-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT. |
C. 855. Szükségünk van egy 60o-os szögre, de nincs más eszközünk, csak egy téglalap alakú papírlapunk. Először félbehajtjuk a téglalapot, azért, hogy lássuk az egyik középvonalát. Ezután az egyik csúcsát ráhajtjuk a középvonalra, egy szomszédos csúcsra illeszkedő hajtásvonal mentén, ahogyan ezt az ábra mutatja. Igazoljuk, hogy az így kapott trapéz hegyesszöge 60o-os.
(5 pont)
C. 856. Melyek azok az n természetes számok, amelyekre
5n+12n2+12n+3
osztható 100-zal?
(5 pont)
C. 857. Melyek azok a (c;d) számpárok, amelyekre az x3-8x2+cx+d=0 egyenletnek három, nem feltétlenül különböző, pozitív egész gyöke van?
(5 pont)
C. 858. Egy téglalap ugyanakkora kerületű és területű, mint egy olyan rombusz, amelynek egyik szöge 30o. Mekkora a téglalap oldalainak aránya?
(5 pont)
C. 859. Bizonyítsuk be, hogy bármely háromszögben:
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(5 pont)
 |
B-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT. |
B. 3912. Igazoljuk, hogy minden konvex négyszögnek van olyan csúcsa, amelynek a vele szomszédos két csúcs által meghatározott szakasz felezőpontjára vonatkozó tükörképe nincs a négyszögön kívül.
(4 pont)
B. 3913. Tekintsük az alábbi két számhalmazt:
Hány eleme van az A
B halmaznak?
(3 pont)
B. 3914. Az ABCD paralelogramma AB oldalának tetszőleges pontja P, a CD oldalának tetszőleges pontja pedig Q. Legyen a DP és AQ egyenesek metszéspontja M, a CP és BQ egyenesek metszéspontja pedig N. Mutassuk meg, hogy az MN egyenes átmegy a paralelogramma középpontján.
(4 pont)
B. 3915. Az ABC háromszög minden oldalát p egyenlő részre osztottuk, ahol p prímszám. Ezután minden oldalról egy-egy osztópontot összekötöttünk a háromszög szemben lévő csúcsával úgy, hogy e három egyenes egy ponton megy át. Határozzuk meg p lehetséges értékeit.
(4 pont)
B. 3916. Bizonyítsuk be, hogy a pozitív x, y számokra teljesül az
egyenlőtlenség.
(3 pont)
B. 3917. Igazoljuk, hogy egy hosszúságú nyílt intervallum legfeljebb
darab olyan racionális számot tartalmazhat, amelynek nevezője legfeljebb n.
(5 pont)
B. 3918. Keressük meg a
egyenlet (-
;) intervallumba eső megoldásait.
(4 pont)
B. 3919. Szerkesszünk a hegyesszögű ABC háromszög belsejében olyan P pontot, amelyre PA.BC=PB.CA=PC.AB.
Javasolta: Holló Gábor (Budapest)
(3 pont)
B. 3920. Oldjuk meg a 3x+4y=5z egyenletet a pozitív egész számok halmazán.
(5 pont)
B. 3921. Négy darab egységnyi oldalú szabályos hatszögből és négy darab szabályos háromszögből mint lapokból egy konvex testet építettünk. Igazoljuk, hogy a test köré gömb írható, és határozzuk meg ennek a gömbnek a sugarát.
(5 pont)
 |
A-jelű feladatokA beküldési határidő 2006. június 15-én LEJÁRT. |
A. 401. Az ABCD tetraéder beírt gömbje az ABC lapot a H pontban érinti. Az ABC laphoz hozzáírt gömb (ami érinti a lapot és a másik három lap meghosszabbítását) az O pontban érinti az ABC lapot. Mutassuk meg, hogy ha az ABC háromszögben O a körülírt kör középpontja, akkor H a magasságpont.
Lengyel versenyfeladat
(5 pont)
A. 402. Két játékos a következő játékot játssza. A táblára felírják a 2 számot. A játékosok ezután felváltva lépnek: minden lépésben az aktuális számot 1-gyel növelik vagy megduplázzák. Az a játékos veszít, aki egy bizonyos, előre rögzített n számnál nagyobbat ír. Az n értékétől függően kinek van nyerő stratégiája?
Vojtech Jarnik Matematikaverseny, Ostrava, 2006
(5 pont)
A. 403. Határozzuk meg mindazokat az n pozitív egészeket, amikre az egyenletnek van megoldása a pozitív egészek körében.
Vietnami versenyfeladat
(5 pont)
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:
- megszerkesztheted vagy feltöltheted az Elektronikus munkafüzetben.
(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)