A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

C-jelű feladatok A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

---

C. 900. Egy különböző számjegyekből álló háromjegyű szám 75%-a ugyanazokból a számjegyekből áll, mint az eredeti, de egyik sem marad a helyén. Melyik ez a szám?

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 901. Az ABCD téglalap területe . Jelölje P az AB oldal A-hoz közelebb eső ötödölő pontját. Tudjuk, hogy a PD szakasz merőleges az AC átlóra. Számítsuk ki a téglalap kerületét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 902. A K kört belülről érinti a fele akkora sugarú k kör. Szerkesszünk K-ban olyan húrt, amely merőleges a két kör középpontját összekötő egyenesre, és amelyet a k-val alkotott metszéspontjai három egyenlő részre osztanak.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 903. Határozzuk meg a

kifejezés legnagyobb értékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

C. 904. Mekkorák az és hegyesszögek, ha igaz rájuk a következő egyenletrendszer?

(5 pont)

megoldás, statisztika

B-jelű feladatok A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

---

B. 4002. Bizonyítsuk be, hogy minden n>1 egész számhoz található olyan egészekből álló sorozat, amelyre minden k esetén osztható az számmal.

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4003. Adottak a síkon a pontok, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy minden 1i2007-re páros sok olyan P_jP_kP_l háromszög létezik, amelynek P_i belső pontja.

Brit versenyfeladat

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4004. Az ABC szabályos háromszög A csúcsának a szemközti oldalra vonatkozó tükörképe A'. Egy, az A'-n átmenő egyenes az AB és AC egyeneseket rendre a C', illetve B' pontokban metszi. Mi a BB' és CC' egyenesek metszéspontjának mértani helye?

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4005. Minden pozitív egész n esetén jelölje a_n azt, hogy n hányféleképpen állítható elő az 1, 3, 4 számok valahány példányának összegeként, ha a tagok sorrendje is számít. Igazoljuk, hogy a₂₀₀₆a₂₀₀₇a₂₀₀₈ köbszám.

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4006. Az a, b, c oldalú háromszögben a+b=2c. Igazoljuk, hogy a háromszög beírt és körülírt körének középpontja, valamint az a és a b oldal felezőpontja egy körön van.

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4007. Legyen A, B, C, D négy különböző pont a térben. A PQ szakaszt úgy ,,mozgatjuk'' át AB-ből DC-be, hogy eközben minden pillanatban P az AD szakasznak, Q pedig a BC szakasznak ugyanolyan arányú osztópontja. Ekkor a PQ szakasz egy felületet ír le. Bizonyítsuk be, hogy ugyanez a felület jön létre akkor is, ha egy RS szakaszt mozgatunk hasonlóképpen AD-ből BC-be.

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4008. Bizonyítsuk be, hogy

(3 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4009. Az ABC háromszög A és B csúcsából induló szögfelezője a szemközti oldalakat A₁-ben, illetve B₁-ben metszi. Az A₁B₁ félegyenesnek a háromszög körülírt körével alkotott metszéspontja P. Bizonyítsuk be, hogy

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4010. A p(x) és q(x) valós együtthatós polinomok semmilyen valós x esetén nem veszik fel ugyanazt az értéket, és minden x-re

p(q(x))=q(p(x)).

Igazoljuk, hogy a p(p(x)) és a q(q(x)) polinomok sem vesznek fel ugyanolyan értéket semmilyen x-re.

(4 pont)

megoldás, statisztika

---

B. 4011. A 2007 lakosú Egyesületfalva lakói nagyon szeretnek klubokat alakítani. A település polgármestere a következő szabályokat hozza:

(1) minden klubnak pontosan 101 taggal kell rendelkeznie, és

(2) két különböző klubnak nem lehet azonos a tagsága.

A város szenátusában mindegyik klubot az egyik tagja képviseli, és a törvény szerint semelyik két klubnak nem lehet ugyanaz a személy a képviselője. A jogi bizottság úgy szeretné korlátozni a klubok számát, hogy azok bárhogyan is alakuljanak a szabályok betartásával, mindig lehessen törvényesen képviselőket találni. Legfeljebb hány klub megalakítását engedélyezheti a bizottság?

(5 pont)

megoldás, statisztika

A-jelű feladatok A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

---

A. 428. Egy konvex rácssokszög minden csúcsának x és y koordinátája is a [0,n] intervallumba esik. Mutassuk meg, hogy a csúcsok száma kevesebb, mint 100n^2/3.

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 429. Határozzuk meg mindazokat az egész együtthatós f(x) és g(x) polinomokat, amikre

f(g(x))=x²⁰⁰⁷+2x+1.

Javasolta: Gyarmati Katalin (Dunakeszi)

(5 pont)

megoldás, statisztika

---

A. 430. Legyen n2 és legfeljebb 1 abszolút értékű komplex számok, továbbá legyen

f(x)=(x-u₁)(x-u₂)^...(x-u_n).

Igazoljuk, hogy az f'(x) polinomnak létezik olyan komplex gyöke, aminek a valós része nemnegatív.

(5 pont)

megoldás, statisztika