Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2024. decemberi matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.


K. 834. A mellékelt összeadásban a különböző betűk különböző, azonos betűk azonos számjegyeket jelölnek. Határozzuk meg az összeadásban szereplő számok és a végeredmény számértékét.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 835. Hány olyan négyjegyű szám van, amelyben valamelyik három számjegy összegének háromszorosa megegyezik a negyedik számjeggyel?

(5 pont)

megoldás, statisztika


K. 836. Az \(\displaystyle ABC\) derékszögű háromszög egységnyi hosszúságú \(\displaystyle AB\) befogójának \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán felvettük a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BD=\dfrac{AC}{2}\) teljesüljön. Az \(\displaystyle AC\) befogó felezőpontja \(\displaystyle E\). Az \(\displaystyle AED\) és \(\displaystyle ABC\) háromszögek területének aránya \(\displaystyle 2:3\). Határozzuk meg \(\displaystyle BD\) hosszát.

(5 pont)

megoldás, statisztika


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.


K/C. 837. Egy \(\displaystyle 4\times4\)-es táblázatot sakktáblaszerűen kiszínezünk. Egy lépésben egy kiszemelt \(\displaystyle 2\times2\)-es részen minden mező színét megváltoztatjuk: feketéből fehér, fehérből fekete lesz.

a) Megoldható-e így, hogy az egész tábla fekete színű legyen?

b) És egy \(\displaystyle 5\times5\)-ös tábla esetén elérhető-e, hogy az egész tábla fekete legyen?

(5 pont)

megoldás


K/C. 838. Lehet-e \(\displaystyle 2024\) két prímszám négyzetének különbsége?

(5 pont)

megoldás, statisztika


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.


C. 1833. Oldjuk meg az

\(\displaystyle a+c=b,\)

\(\displaystyle a^3-c=b^2,\)

\(\displaystyle a+b=c^3\)

egyenletekből álló egyenletrendszert, ha \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) természetes számok.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1834. Három deli herceg versengett Kék király csodálatos leányának kezéért: Piros herceg, Fehér herceg és Zöld herceg. Az első próba a jóízlés próbája volt. A hercegek kaptak egy-egy kék szabályos 20-szöget, amelynek tetszőleges részét átszínezhették a saját színükre, minél ízlésesebben. Azt nem árulta el nekik a királylány, hogy előre eldöntötte, aki a \(\displaystyle 20\)-szöge ötödénél többet fest át a saját színére, az szerinte túl egoista, és ezért nem folytathatja a vetélkedést a kezéért. Az egyes hercegek az alábbi színezéseket készítették:

Melyikük jutott tovább a próbák következő fordulójába? (Ahol a feladat egyébként egy hétfejű sárkány legyőzése és megevése volt, de hát az már egy másik matekpélda.)

Javasolta: Bertalan Zoltán (Békéscsaba)

(5 pont)

megoldás


C. 1835. Az \(\displaystyle x\) szám egészrészét \(\displaystyle [x]\), törtrészét pedig \(\displaystyle \{x\}\) jelöli. Bizonyítsuk be, hogy az \(\displaystyle [x]\cdot\{x\}=\dfrac{2024}{2025}\) egyenletnek végtelen sok megoldása van a racionális számok halmazán.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1836. Az egyenlő szárú \(\displaystyle ABC\) háromszög \(\displaystyle AB\) alapjának végpontjain áthaladó \(\displaystyle k\) kör az \(\displaystyle AC\), illetve \(\displaystyle BC\) oldalegyeneseket az \(\displaystyle A\), illetve \(\displaystyle B\) pontokban érinti. A \(\displaystyle k\) körnek egy, az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\) pontoktól különböző pontja \(\displaystyle P\). Igazoljuk, hogy a \(\displaystyle P\) pontnak az \(\displaystyle AB\) egyenestől mért távolsága legfeljebb akkora, mint az \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle BC\) egyenesektől mért távolságok számtani közepe.

Javasolta: Bíró Bálint (Eger)

(5 pont)

megoldás, statisztika


C. 1837. Már az ókori görögök is tudták, hogy a \(\displaystyle \pi \approx 3{,}1416\) egészen jól közelíthető a \(\displaystyle \dfrac{22}{7}\approx 3{,}1429\) törttel. Hány olyan pozitív egész számokból álló \(\displaystyle (a;b)\) számpár van, amelyekre \(\displaystyle 1<b<100\) és az \(\displaystyle \frac{a}{b}\) tizedes tört alakja úgy kezdődik, hogy \(\displaystyle 3{,}14\)?

Javasolta: Kozma Katalin Abigél (Győr)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.


B. 5422. Két természetes szám egymás rokona, ha legfeljebb egy számjegyük különbözik. (Tehát rokonok például a \(\displaystyle 135\) és a \(\displaystyle 175\), valamint a \(\displaystyle 101\) és az \(\displaystyle 1\) (vagyis a \(\displaystyle 001\)), de a \(\displaystyle 135\) és a \(\displaystyle 513\) nem.) Van-e olyan szám, amelynek minden rokona összetett?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

megoldás, statisztika


B. 5423. Az \(\displaystyle x\) szám törtrészét \(\displaystyle \{x\}\) jelöli. Létezik-e olyan \(\displaystyle n\) pozitív egész szám, amelyre \(\displaystyle \left\{\sqrt{2}n\right\}\cdot \left\{\dfrac{n}{\sqrt{2}}\right\}\) racionális?

Javasolta: Hujter Bálint (Budapest)

(3 pont)

megoldás


B. 5424. Tetszőleges pozitív egész \(\displaystyle n\) esetén \(\displaystyle K_n\)-nel jelöljük azt az alakzatot, amelyet úgy kapunk, hogy egy \(\displaystyle (2n)\times(2n)\) méretű ,,sakktábla'' mind a négy sarkából kivágunk egy-egy \(\displaystyle (n-1)\times(n-1)\) nagyságú négyzetet, az ábráknak megfelelően.

Jelöljük \(\displaystyle a_n\)-nel azt, ahányféleképpen lefedhető \(\displaystyle K_n\) hézag- és átfedésmentesen \(\displaystyle ({2\times 1})\)-es dominókkal. (Például \(\displaystyle a_1=2\), illetve \(\displaystyle a_2=8\).) Igazoljuk, hogy \(\displaystyle 2a_n\) minden \(\displaystyle n\)-re négyzetszám.

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5425. Legyen \(\displaystyle ABCD\) húrnégyszög köré írt körének középpontja \(\displaystyle O\), az \(\displaystyle AC\) átlójának felezőpontja pedig \(\displaystyle E\). Tegyük fel továbbá, hogy \(\displaystyle O\) és \(\displaystyle E\) különbözőek. Mutassuk meg, hogy ha \(\displaystyle OEBD\) is húrnégyszög, akkor \(\displaystyle EC\) felezi a \(\displaystyle DEB\) szöget.

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(4 pont)

megoldás, statisztika


B. 5426. Ugri, a szöcske a számegyenes pozitív egész számain ugrál úgy, hogy mindegyiket pontosan egyszer látogatja meg. Lehetséges-e, hogy ugrásainak hosszai között minden pozitív egész pontosan egyszer szerepel?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5427. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög belső pontja \(\displaystyle P\). Az \(\displaystyle AP\), \(\displaystyle BP\) és \(\displaystyle CP\) egyenesek a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre az \(\displaystyle L\), \(\displaystyle M\) és \(\displaystyle N\) pontokban metszik. Mutassuk meg, hogy \(\displaystyle P\) pontosan akkor súlypontja \(\displaystyle ABC\)-nek, ha súlypontja \(\displaystyle LMN\)-nek.

Crux Mathematicorum

(5 pont)

megoldás, statisztika


B. 5428. Oldjuk meg a következő egyenletet a nemnegatív egész számok halmazán: \(\displaystyle 5^{a}+12^{b}=13^{c}\).

Javasolta: Somogyi Ákos (London)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5429. Tetszőleges \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle Z\) pontokra jelölje \(\displaystyle [XYZ]\) az \(\displaystyle XYZ\) háromszög területét. Mutassuk meg, hogy ha az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\), \(\displaystyle F\) pontok egy nem elfajuló kúpszeletre esnek, akkor

\(\displaystyle [ABC]\cdot[CDE]\cdot[EFA]\cdot[BDF]=[BCD]\cdot[DEF]\cdot[FAB]\cdot[ACE]. \)

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(6 pont)

megoldás, statisztika


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. január 10-én LEJÁRT.


A. 893. Egy szövegszerkesztő programban kezdetben egy lábnyom jel (L) szerepel, amelyet szeretnénk megsokszorozni. Sajnos hekkertámadás áldozata lett a gépünk, és csak két funkció működik: a Másolás és a Beillesztés, ráadásul mindkettő \(\displaystyle 1\) Dürer dollárba kerül használatonként. A Másolás funkció használatakor kijelölhetünk egy vagy több egymás utáni jelet a meglévők közül, és a gép megjegyzi azok darabszámát. A Beillesztés funkció használatakor annyi új lábnyom jelet tesz hozzá a gép a jelsorozathoz, amennyit a legutóbbi Másolásnál kijelöltünk. Ha még nem Másoltunk, nem használhatjuk a Beillesztést. Jelölje \(\displaystyle D(n)\) azt, hogy legkevesebb hány Dürer dollár kell ahhoz, hogy pontosan \(\displaystyle n\) darab lábnyom jelet kapjunk. Bizonyítsuk be, hogy bármilyen pozitív egész \(\displaystyle k\)-ra létezik olyan \(\displaystyle N\) pozitív egész szám, amelyre

$$\begin{gather*} D(N)=D(N+1)+1=D(N+2)=D(N+3)+1=D(N+4)=\ldots\\ \ldots=D(N+2k-1)+1=D(N+2k). \end{gather*}$$

Dürer Verseny feladat alapján

(7 pont)

megoldás


A. 894. Az \(\displaystyle ABCDE\) konvex poliéder olyan, hogy a \(\displaystyle DE\) szakasz az \(\displaystyle ABC\) háromszög síkját a háromszög belsejében metszi el. Forgassuk el a \(\displaystyle D\) pontot az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) egyenesek körül kifelé az \(\displaystyle ABC\) síkba; a kapott pontok legyenek \(\displaystyle D_1\), \(\displaystyle D_2\) és \(\displaystyle D_3\). Hasonlóan, az \(\displaystyle E\) pontot is forgassuk az \(\displaystyle ABC\) síkba az \(\displaystyle AB\), \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle CA\) egyenesek körül kifelé; a kapott pontok legyenek \(\displaystyle E_1\), \(\displaystyle E_2\) és \(\displaystyle E_3\).

Mutassuk meg, hogy ha a poliédernek van beírt gömbje, akkor a \(\displaystyle D_1D_2D_3\) és az \(\displaystyle E_1E_2E_3\) háromszögek köréírt körei koncentrikusak.

Javasolta: Kós Géza (Budapest)

(7 pont)

megoldás


A. 895. Nevezzünk egy \(\displaystyle f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) függvényt gyengén periodikusnak, ha folytonos és \(\displaystyle f(x+1)=f(f(x))+1\) minden \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) esetén.

a) Létezik-e olyan gyengén periodikus függvény, amelyre \(\displaystyle f(x)>x\) minden \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) esetén?

b) Létezik-e olyan gyengén periodikus függvény, amelyre \(\displaystyle f(x)<x\) minden \(\displaystyle x \in \mathbb{R}\) esetén?

Javasolta: Imolay András (Budapest)

(7 pont)

megoldás, statisztika


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)