Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A KöMaL 2025. januári matematika feladatai

Kérjük, ha még nem tetted meg, olvasd el a versenykiírást.


Feladat típusok elrejtése/megmutatása:


K-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.


K. 839. Hány olyan négyzet rajzolható az alábbi ábrába a rácsvonalak mentén, amely tartalmaz a kis fekete négyzetek közül legalább egyet?

(5 pont)

megoldás


K. 840. A digitális számjegyek kis hatszögekből épülnek fel. A \(\displaystyle 0\) hat darab, az \(\displaystyle 1\) két darab, a \(\displaystyle 2\) öt darab hatszögből és így tovább (lásd az ábrát). Hány olyan szomszédos pozitív egész számokból álló pár van, amelyek digitális számjegyekkel, ilyen módon leírt alakja ugyanannyi hatszögből épül fel?

(5 pont)

megoldás


K. 841. \(\displaystyle 2025\). január \(\displaystyle 25\)-én (\(\displaystyle 2025\).\(\displaystyle 01\).\(\displaystyle 25\).) ünnepeljük Fekete István író (művei pl. Vuk, Kele, Tüskevár) születésének \(\displaystyle 125\). évfordulóját. A \(\displaystyle 20\;250\;125\) szám \(\displaystyle 11\)-gyel nem osztható, és \(\displaystyle 3\)-mal osztva \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul. Hány olyan nyolcjegyű szám készíthető ezen szám számjegyeinek átrendezésével, amely osztható \(\displaystyle 11\)-gyel és ugyancsak \(\displaystyle 2\)-t ad maradékul \(\displaystyle 3\)-mal osztva?

(5 pont)

megoldás


K/C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.


K/C. 842. Hány olyan nem üres részhalmaza van a \(\displaystyle H=\{1; 2; 3; 4; 5, 6; 7; 8; 9\}\) halmaznak, amelyben az elemek összege páros?

(5 pont)

megoldás


K/C. 843. Az \(\displaystyle ABC\) egyenlő szárú derékszögű háromszög \(\displaystyle AB\) befogójának \(\displaystyle B\)-n túli meghosszabbításán felvettük a \(\displaystyle D\) pontot úgy, hogy \(\displaystyle BD=AB\) teljesüljön. Az \(\displaystyle AC\) befogó felezőpontja \(\displaystyle E\), az \(\displaystyle ED\) szakasz a \(\displaystyle BC\) átfogót az \(\displaystyle F\) pontban metszi. Határozzuk meg az \(\displaystyle AED\) és \(\displaystyle FEC\) háromszögek területének arányát.

(5 pont)

megoldás


C-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.


C. 1838. Egy táblára felírtuk az \(\displaystyle 1\), \(\displaystyle 2\), \(\displaystyle 3\), \(\displaystyle \ldots\), \(\displaystyle 2024\), \(\displaystyle 2025\) számokat. Farkas és Piroska felváltva törölnek egy-egy számot a tábláról, amíg csak két szám marad a táblán. Hogyan nyerhet Piroska, ha ő kezd, és akkor nyer, ha a táblán utoljára maradt két szám összege osztható \(\displaystyle 11\)-gyel?

(német versenyfeladat alapján)

(5 pont)

megoldás


C. 1839. Adott két párhuzamos egyenes és az egyiken két pont, \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle B\). Szerkesszük meg az \(\displaystyle AB\) szakasz felezőpontját úgy, hogy csak egy darab egyélű vonalzót használhatunk.

(5 pont)

megoldás


C. 1840. Legyen \(\displaystyle -20{,}25<K<0\). Oldjuk meg az

$$\begin{gather*} x+y+z=K,\\ x^3+y^3+z^3=1,\\ xyz=-2024 \end{gather*}$$

egyenletrendszert a valós számhármasok halmazán.

Javasolta: Berkó Erzsébet (Szolnok)

(5 pont)

megoldás


C. 1841. A \(\displaystyle PQRS\) konvex négyszögben \(\displaystyle QR=4\), \(\displaystyle RS=6\), \(\displaystyle SP=5\), és a \(\displaystyle P\), illetve \(\displaystyle Q\) csúcsoknál levő belső szögek \(\displaystyle 60^{\circ}\)-osak. Ha tudjuk, hogy \(\displaystyle 2PQ=a+\sqrt{b}\), ahol \(\displaystyle a\) és \(\displaystyle b\) pozitív egészek, akkor határozzuk meg az \(\displaystyle a+b\) összeg értékét.

(ausztrál versenyfeladat)

(5 pont)

megoldás


C. 1842. Oldjuk meg a valós számok halmazán a \(\displaystyle 9^x+(6x-23)\cdot 3^x+5x^2-39x+76=0\) egyenletet.

Javasolta: Bencze Mihály (Brassó)

(5 pont)

megoldás


B-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.


B. 5430. Legfeljebb hány különböző pozitív egész számot lehet felírni egy kör kerületére úgy, hogy bármely két szomszédos szám szorzata kisebb legyen, mint \(\displaystyle 2025\)?

Javasolta: Sztranyák Attila (Budapest)

(3 pont)

megoldás


B. 5431. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre \(\displaystyle k\), a \(\displaystyle k\) középpontja \(\displaystyle I\). Az \(\displaystyle AI\) egyenes \(\displaystyle k\)-t \(\displaystyle A\)-hoz közelebb \(\displaystyle D\)-ben, \(\displaystyle A\)-tól távolabb \(\displaystyle E\)-ben metszi. Legyen \(\displaystyle k\) érintési pontja \(\displaystyle AC\)-n \(\displaystyle F\). Az \(\displaystyle E\) pontban a \(\displaystyle k\)-hoz húzott érintő \(\displaystyle AC\)-t \(\displaystyle G\)-ben metszi. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle GI\) párhuzamos \(\displaystyle FD\)-vel.

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(3 pont)

megoldás


B. 5432. Vannak-e olyan valós \(\displaystyle a\), \(\displaystyle b\), \(\displaystyle c\) számok, amelyekre az alábbi három függvény közül egyiknek sincs zérushelye?

$$\begin{gather*} p_1(x)=ax^2-(b^2+1)x+c,\\ p_2(x)=bx^2-(c^2+1)x+a,\\ p_3(x)=cx^2-(a^2+1)x+b. \end{gather*}$$

Kámán Ildikó (Budapest) ötletéből

(4 pont)

megoldás


B. 5433. Mutassuk meg, hogy tetszőleges négyszög alapú gúlában az oldallapok súlypontjait a szemközti alapél felezőpontjával összekötő szakaszok egy ponton mennek át.

Javasolta: Kiss Géza (Csömör)

(4 pont)

megoldás


B. 5434. Milyen \(\displaystyle m>1\) pozitív egész számokhoz létezik olyan egész együtthatós \(\displaystyle f(x)\) polinom, amelyre bármely \(\displaystyle k\) egész szám esetén \(\displaystyle k\) és \(\displaystyle f(k)\) közül pontosan az egyik osztható \(\displaystyle m\)-mel?

Javasolta: Hujter Bálint () (Budapest) és Kós Géza (Budapest)

(5 pont)

megoldás


B. 5435. Az \(\displaystyle ABC\) háromszög beírt köre a \(\displaystyle BC\), \(\displaystyle AC\) és \(\displaystyle AB\) oldalakat rendre a \(\displaystyle D\), \(\displaystyle E\) és \(\displaystyle F\) pontokban érinti. Legyen továbbá \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) rendre az \(\displaystyle AD\), \(\displaystyle BE\) és \(\displaystyle CF\) szakaszok \(\displaystyle A\)-hoz, \(\displaystyle B\)-hez, illetve \(\displaystyle C\)-hez közelebbi harmadolópontja. Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle R\) pontok közül legalább egy a beírt kör belsejében vagy a határán helyezkedik el.

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(5 pont)

megoldás


B. 5436. Legyen \(\displaystyle p\) páratlan prím. Jelölje \(\displaystyle d_k(n)\) az \(\displaystyle n\) azon pozitív osztóinak számát, amelyek \(\displaystyle p\)-vel osztva \(\displaystyle k\) maradékot adnak (\(\displaystyle 0\leq k<p\)).

Legyen \(\displaystyle A\subseteq\{0,1,\dots,{p-1}\}=S\) olyan, hogy

\(\displaystyle \sum_{k\in A}d_k(n)\geq\sum_{j\in S\setminus A}d_j(n) \)

teljesül minden pozitív egész \(\displaystyle n\) számra. Legalább hány elemű az \(\displaystyle A\) halmaz?

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(6 pont)

megoldás, statisztika


B. 5437. Az \(\displaystyle ABC\) háromszögben \(\displaystyle BC<AC\), és \(\displaystyle D\) olyan pont az \(\displaystyle AC\) oldalon, hogy \(\displaystyle BC=DC\). A \(\displaystyle \Gamma\) kör belülről érinti az \(\displaystyle ABC\) háromszög köréírt körének \(\displaystyle B\)-t nem tartalmazó \(\displaystyle AC\) ívét \(\displaystyle X\)-ben, valamint érinti \(\displaystyle AC\)-t \(\displaystyle D\)-ben. A \(\displaystyle B\)-ből \(\displaystyle \Gamma\)-hoz húzott \(\displaystyle C\)-hez közelebbi érintő \(\displaystyle AC\)-t \(\displaystyle Y\)-ban metszi, \(\displaystyle \Gamma\)-t pedig \(\displaystyle Z\)-ben érinti. Igazoljuk, hogy ha \(\displaystyle A\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle X\), és az \(\displaystyle ABC\) háromszög körülírt körének középpontja egy körön helyezkednek el, akkor \(\displaystyle AZ=CZ\).

Javasolta: Lovas Márton (Budakalász)

(6 pont)

megoldás


A-jelű feladatok

A beküldési határidő 2025. február 10-én LEJÁRT.


A. 896. A tengerbiológusok egy új kagylófajt vizsgálnak, amelynek az első generációját 100 kagyló alkotja, és a kolóniájuk a következőképpen szaporodik: ha egy adott generációban \(\displaystyle N\) kagyló van (ahol \(\displaystyle 5 \mid N\) mindig teljesül), akkor \(\displaystyle N/5\) darab \(\displaystyle 5\) kagylóból álló csoportra osztják magukat, és mindegyik csoportnak közösen születik \(\displaystyle 15\) darab utódja, akik a következő generációt alkotják. A kagylók között néhányban található egy darab gyöngy, de egy kagylóban csak akkor lehet gyöngy, ha az egyenes felmenői közül senkiben sem volt gyöngy. Egy gyöngy értékét az határozza meg, hogy az őt tartalmazó kagyló hányadik generációs: az \(\displaystyle n\)-ik generáció esetén az érték \(\displaystyle 1/3^n\). Legfeljebb mennyi lehet a gyöngyök összértéke a kolóniában?

Javasolta: Beke Csongor (Cambridge)

(7 pont)

megoldás


A. 897. A derékszögű koordináta-rendszerben jelölje \(\displaystyle O\) az origót és \(\displaystyle \gamma\) az \(\displaystyle (1,0)\) középpontú, egység sugarú kört. Legyen \(\displaystyle \lambda\) egy valós szám a \(\displaystyle (0,2)\) intervallumból, és legyen az \(\displaystyle x=\lambda\) egyenes és a \(\displaystyle \gamma\) kör két metszéspontja \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Az \(\displaystyle OP\) és \(\displaystyle OQ\) egyenesek az \(\displaystyle x=2-\lambda\) egyenest rendre a \(\displaystyle P'\) és \(\displaystyle Q'\) pontokban metszik. Az ilyen \(\displaystyle P'\), \(\displaystyle Q'\) pontok mértani helyét jelöljük \(\displaystyle \mathcal{G}\)-vel, ahogy \(\displaystyle \lambda\) bejárja a \(\displaystyle (0,2)\) intervallumot. Mutassuk meg, hogy vannak olyan \(\displaystyle O\)-tól különböző \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle S\) pontok a síkon, amelyekre minden \(\displaystyle A\in \mathcal{G}\) pontra létezik olyan \(\displaystyle A'\) pont az \(\displaystyle OA\) egyenesen, hogy

\(\displaystyle A'R^2=(A'S-OS)^2=A'A\cdot A'O. \)

Javasolta: Bán-Szabó Áron (Budapest)

Figyelem! A feladat szövegébe apró diszkussziós hiba csúszott. A bizonyítandó állítás végén szereplő egyenlőség helyes alakja: \(\displaystyle A'R^2=(A'S\pm OS)^2=A'A\cdot A'O\).

(7 pont)

megoldás


A. 898. Legyen \(\displaystyle n\) egy adott pozitív egész szám. Ana és Bob a következő játékot játsszák: Ana választ egy egész együtthatós \(\displaystyle n\)-edfokú \(\displaystyle p\) polinomot. Bob minden egyes körben választhat egy pozitív egészekből álló véges \(\displaystyle S\) halmazt, Ana pedig egy listával válaszol, mely a \(\displaystyle p\) polinom \(\displaystyle S\) halmazon felvett értékeit tartalmazza multiplicitással (növekvő sorrendben). Határozzuk meg \(\displaystyle n\) függvényében azt a legkisebb \(\displaystyle k\) pozitív egész számot, melyre Bob mindig ki tudja találni a \(\displaystyle p\) polinomot legfeljebb \(\displaystyle k\) kör alatt.

Javasolta: Andrei Chirita (Cambridge)

(7 pont)

megoldás


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásait honlapunkon keresztül küldheted be:

(Az interneten keresztül történő beküldésről olvasd el tájékoztatónkat)